Que otros campos de las matemáticas son relevantes para la moderna teoría de conjuntos?

Question

Actualmente estoy estudiando matemáticas como de pregrado. Durante el último año he descubierto la lógica matemática y teoría de conjuntos y tomó algunos cursos en estas materias. Especialmente la teoría de conjuntos es muy atractivo para mí, así que, naturalmente estoy interesado en profundizar en mi conocimiento de ella. Creo que la teoría de conjuntos es la parte más interesante de las matemáticas que he visto hasta ahora. Actualmente, mi objetivo es llegar a ser un profesional teórico. Para ello, obviamente, tienen que aprender más acerca de la teoría de conjuntos y aprovechar cada oportunidad para asistir a la teoría de los cursos. Como estudiante universitario, tengo (y, por supuesto, quieren) para cubrir diferentes áreas de las matemáticas y no sólo la teoría de conjuntos.

Así que me preguntaba - que otras áreas de las matemáticas son importantes en la moderna teoría de conjuntos o tienen una influencia no? ¿Qué otras áreas según un estudio, si quiere llegar a ser profesional en la teoría de conjuntos?

Estoy feliz de poder recibir cualquier consejo general en el que las áreas de estudio, pero también le gustaría escuchar sobre todo que las partes de estas áreas son importantes (por ejemplo, teoría de la medida en el análisis).

Answer 1

La teoría de conjuntos tiene numerosas aplicaciones a varias ramas de las matemáticas (por Desgracia, soy un novato en este campo, así que no sé la mayoría de ellos). Pero ya que usted menciona real, el análisis y la teoría de la medida, permítanme darles algunos ejemplos de este campo que me parece realmente interesante. Algunos de estos pueden ser ya conocidos, pero voy a dar algunas referencias (esperemos nuevo para usted).

(1) de Banach medir problema le pregunta si se podría extender la medida de Lebesgue en la unidad de intervalo de $[0, 1]$ a una medida definida en todos los subconjuntos de a $[0, 1]$. Por Vitali, sabemos que dicha extensión no puede ser la traducción invariables, pero lo que si no la requieren. Este problema está íntimamente relacionada con los grandes cardenales (lo que ahora se denomina medibles cardenales) y hay muchos resultados sorprendentes y problemas abiertos aquí. Cuando usted aprende obligando usted puede leer acerca de todo esto aquí - Nota de los muchos abierto agradable problemas en los apéndices. Tal vez también comprobar Fremlin la lista de problemas aquí.

(2) Hay muchas preguntas difíciles acerca de la medida de Lebesgue en Euclidiana espacios cuyas soluciones requieren obligando a - Un ejemplo aquí. Muchos de estos todavía están abiertas. Véase, por ejemplo, el problema de GC aquí. Tal vez, también esta Erdos de papel donde los problemas tienen una maravillosa mezcla de geometría, combinatoria, teoría de conjuntos y teoría de la medida.

(3) En una dirección diferente, hay muchos interesantes problemas no resueltos acerca de los conjuntos de singularidad para trigonométrica de la serie. Cantor fue originalmente trabajando en estos problemas cuando inventó la teoría de conjuntos - he Aquí una bonita hablar por Walter Rudin sobre esto. Cohen escribió su tesis sobre este tema bajo Zygmund. Kechris tiene una encuesta papel en esta área.

(4) es también el campo de cardenal invariantes con un conjunto de resultados. Véase, por ejemplo, aquí y aquí.

Es bueno tener muy interesante, motivador problemas (subjetiva) durante su trabajo de graduación. Es especialmente bueno si estas preguntas fueron formuladas por los matemáticos de sus generaciones anteriores.

Answer 2

Uno de los temas críticos en los fundamentos de las matemáticas es el establecimiento de un conjunto firme de la teoría de la fundación para la categoría de teoría. Saunders MacLane, el co-fundador de la categoría teoría, estaba bastante preocupado con este problema e intentado varias soluciones posibles, la más sofisticados son topos de la teoría, que básicamente sustituye axiomático que la teoría de conjuntos con un especializado de la teoría de categorías denominadas " topoi, que se comportan como conjuntos. Hay algunos que creen que esto es puramente metafísica quandry, pero no podía estar más en desacuerdo.Mediante la categoría de la teoría con fluidez para expresar los resultados como muchos matemáticos hacer, evitando de esta pregunta como una mina es,para mí, equivale a lo que en el siglo 18, los matemáticos y los físicos hicieron durante la no-rigurosa fase de la historia de cálculo. Es una pregunta muy importante de rigor y uno que creo que puede dar lugar a importantes resultados en los fundamentos de las matemáticas.También,francamente-no deberíamos estar cómodo mediante la categoría de la teoría como una "caja negra" en la que expresamos nuestras teorías, más luego los matemáticos deberían haber sido cómodo con 19 italiana del siglo geometría algebraica-que era básicamente un juego de imágenes y de la metafísica, hasta que Oscar Zariski y otros algebracists establecido bases sólidas para que en la década de 1930 y 1940.