Valor esperado vs. valor más probable (moda)

Question

El valor esperado de una distribución $f(x)$ es la media, que es el valor promedio ponderado $$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$$

El valor más probable es la moda, que es el valor más probable.

Sin embargo, ¿esperamos de alguna manera ver $E[x]$ muchas veces? Citando de aquí:

Si los resultados $x_i$ no son igualmente probables, entonces la media simple debe ser reemplazada por la media ponderada, que tiene en cuenta el hecho de que algunos resultados son más probables que otros. Sin embargo, la intuición sigue siendo la misma: el valor esperado de $x$ es lo que uno espera que suceda en promedio.

No puedo entender qué significa "suceder en promedio", ¿significa esto que, por ejemplo, tomando una medida muchas veces espero ver $E[x]$ más que otros valores de $x$? ¿Pero no es esta la definición de moda?

Entonces, ¿cómo interpretar la afirmación? ¿Y cuál es el significado probabilístico de $E[x]$?

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También me gustaría mostrar un ejemplo donde me confundo. Estudiando la distribución $\chi^2$ aprendí que la moda es $\chi^2_{mode}=\nu-2$, mientras que $E[\chi^2]=\nu$, donde $\nu$ son los grados de libertad de los datos.

Escuché en la universidad que, al hacer una prueba de $\chi^2$ después de usar el Método de Mínimos Cuadrados para ajustar un conjunto de datos, debería esperar obtener $\chi^2 \approx \nu$ porque "eso es lo que sucede en general".

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¿He malinterpretado todo esto o es el valor esperado de alguna manera muy probable? (Aunque el valor más probable, por supuesto, es la moda)

Answer 1

Para una distribución normal, el valor esperado, también conocido como la media, es igual a la moda.

En general, no solo el valor esperado no es necesariamente el más probable (o de mayor densidad), sino que puede que ni siquiera tenga posibilidad de ocurrir. Por ejemplo, considera la variable aleatoria X que es igual a 0 o 2, cada una con probabilidad 0.5. Entonces EX = 1, pero el valor esperado, 1, tiene probabilidad 0 de ocurrir, mientras que 0 y 2 son ambas modas de la distribución.

La cita "el valor esperado de x es lo que uno espera que suceda en promedio" es un lenguaje no técnico para personas del común, que como evidencia tu confusión, solo sirve para complicar las cosas. El valor esperado tiene un significado muy específico en probabilidad como siendo el promedio matemático. Mientras que en el lenguaje coloquial, un valor esperado o "en promedio" puede ser algo que se espera que ocurra típicamente. Estos conceptos se pueden reconciliar si "en promedio" se interpreta como el promedio matemático de lo que ocurre.

Con expectativas,

Joe Average

Answer 2

El valor esperado es a priori muy abstracto y no hay motivo para pensar que es el resultado más probable; como otros han señalado, es fácil construir variables aleatorias para las que $$P( X = E(X) ) = 0$$ (y lo mismo con la densidad si $X$ es continua)

La única justificación para el valor esperado, y la razón por la que "esperamos verlo a menudo", es la Ley de los grandes números:

si tienes $n$ variables independientes e idénticamente distribuidas $X_i$, entonces

$$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$$

(para un significado adecuado de $\to$ que es innecesario investigar en este momento)

¿Qué significa esto? Imagina que lanzas una moneda con probabilidad $p> \frac 12$ de caer cara, a la que asociaremos el número $1$, y probabilidad $1-p$ de caer cruz (es decir, $0$). ¿Cuál es el resultado más probable? ¡1! (es decir, cara) ¿Cuál es el valor esperado? $$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$$

Ahora claramente "p" nunca sucederá (es o cara o cruz, es decir, 0 o 1).

Pero lanza la moneda 10,000 veces y registra las veces que salió cara sobre el número total de lanzamientos. Este número captura lo que intuitivamente pensamos como promedio ("número promedio de caras"). Y la ley de los grandes números te dice que este número estará cerca de $E(X) = p$

Answer 3

No me gusta el término "valor esperado" y no lo utilicé al enseñar probabilidad. "Media aritmética" es mejor, en mi opinión, porque la media aritmética de un dado de 6 caras es 3.5 pero tal número no ocurre. Originalmente escuché el término "valor de expectativa" para el concepto cuando estaba en la universidad. Muchos términos técnicos no concuerdan con el significado obviamente no técnico. ("O" viene a la mente.)

Nota que una distribución puede tener más de una moda pero la media aritmética es única. La moda, la media y la mediana son diferentes y tienen usos diferentes.

Answer 4

La diferencia es más fácil de ver con distribuciones discretas:

Consideremos dos conjuntos de valores donde cada número tiene la misma probabilidad de ser seleccionado: {1,2,2,2,10} y {1,2,2,2,3}.

Ambos tienen la misma moda (2), pero los valores esperados difieren. El valor esperado pone un peso extra en los valores grandes mientras que la moda simplemente busca qué valor ocurre con más frecuencia. Por lo tanto, si sacaras de esta distribución muchas veces, tu promedio de muestra estaría cerca del valor esperado, mientras que el entero más común en ocurrir estaría cerca de la moda.

La moda se define como $mode=arg{\max{f(x)}}$ mientras que como mostraste antes, el valor esperado integra sobre $x*f(x)$ por lo que considera el peso de cada x.

El uso del lenguaje para distinguir entre diferentes medidas de tendencia central es un problema común al aprender estadística. Por ejemplo, la mediana es otra medida que no está sesgada por valores grandes como el promedio.