Inadecuado integral acerca de exp apareció en Titchmarsh, el libro de la función zeta

Question

Puedo preguntar cómo hacer la siguiente integración?

$$\int_0^\infty \frac{e^{-(\pi n^{2}/x) -(\pi t^2 x)}}{\sqrt{x}} dx $$

donde $t>0$, $n$ un entero positivo.

Esto salió en la página 32 (imagen) de Titchmarsh del libro, La Teoría de la Riemann Zeta Función. Específicamente para la suma que implican $b_n$, me pregunto cómo

multiplicar por $e^{-\pi t^{2} x}$ e integrar más de $(0,\infty)$

Answer 1

$$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}}\, \exp\left(-\frac{\pi n^2}{x} - \pi t^2 x\right) &=& 2\sqrt{\frac{n}{t}} \int_0^\infty dz\, \exp\left(-\pi n t(z^2 + z^{-2})\right) \hspace{5ex} (\textrm{let } x=z^2 n/t) \\ &=& \sqrt{\frac{n}{t}} \int_{-\infty}^\infty ds\, e^{s/2} \exp\left(-2 \pi n t \cosh s\right) \hspace{5ex} (\textrm{let } z=e^{s/2}) \\ &=& 2\sqrt{\frac{n}{t}} \int_0^\infty ds\, \cosh\left(\frac{s}{2}\right) \exp\left(-2 \pi n t \cosh s\right) \\ &=& 2\sqrt{\frac{n}{t}} K_{\frac{1}{2}} (2\pi n t) \hspace{5ex} (\textrm{modified Bessel function, 2nd kind}) \\ &=& \frac{e^{-2\pi n t}}{t} \end{eqnarray*}$$

Apéndice: Una aproximación que no impliquen funciones especiales. $$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}}\, \exp\left(-\frac{\pi n^2}{x} - \pi t^2 x\right) &=& 2\sqrt{\frac{n}{t}} \int_0^\infty dz\, \exp\left(-\pi n t(z^2 + z^{-2})\right) \hspace{5ex} (\textrm{as before}) \\ &=& 2\sqrt{\frac{n}{t}} \int_0^\infty dz\, \exp\left(-\pi n t(z-z^{-1})^2 - 2\pi n t\right) \\ &=& \sqrt{\frac{n}{t}} e^{-2\pi n t} \int_{-\infty}^\infty du\, \left(1+\frac{u}{\sqrt{u^2+4}}\right) e^{-\pi n t u^2} \hspace{4ex} (z-z^{-1}=u) \\ &=& \frac{e^{-2\pi n t}}{t} \hspace{5ex} (\textrm{odd integral vanishes; Gaussian left over}) \end{eqnarray*}$$