Esta es una pregunta típica en elementos finitos aproximación para incompresible Stokesian de flujo. También ya se ha mencionado el papel de Crouzeix y Thomée, ambos de los cuales son muy famosos en elementos finitos de la comunidad, un elemento finito contra-ejemplo aquí parece apropiado.
La pregunta es:
Es la proyección acotada? Si proyectamos $L^2$-regular divergencia libre de campos vectoriales en un número finito de dimensiones subespacio de $H^1$-regular divergencia libre de campos vectoriales.
La respuesta es No.
Espacios: Considere el $\Omega\in \mathbb{R}^2$ ser simplemente conectado delimitada suave de dominio
$$\newcommand{\b}{\boldsymbol}
H = \{\b{v}\en L^2(\Omega): \mathrm{div}\,\b{v} = 0 \},
$$
y
$$
V = \{\b{v}\in H^1(\Omega): \mathrm{div}\,\b{v} = 0 \}.
$$
$V$ entonces es denso en $H$ (para una prueba por favor consulte mi respuesta aquí: Relación de los núcleos de un operador acotado y su extensión , básicamente he modificado el Sarro del argumento en su libro para $C^{\infty}$-campos vectoriales, mucho más simple argumento sería simplemente el uso de $C^{\infty}(\Omega)\subset H^1(\Omega)\subset L^2(\Omega)$ y la densidad de $C^{\infty}$-campos vectoriales).
Normas y continua de incrustación: Normas para $H$ $H(\mathrm{div})$norma :
$$
\|\cdot \|_{H(\mathrm{div})} := \left(\|\cdot \|_{L^2}^2 + \|\mathrm{div }\cdot \|_{L^2}^2\right)^{1/2}.
$$
Norma para $V$ es el estándar $H^1$norma:
$$
\|\cdot \|_{H^1} := \left(\|\cdot \|_{L^2}^2 + \|\nabla (\cdot) \|_{L^2}^2\right)^{1/2}.
$$
Claramente para cada $\b{v}\in V$:
$$\left(\|\b{v} \|_{L^2}^2 + \|\mathrm{div }\,\b{v} \|_{L^2}^2\right)^{1/2} = \|\b{v}\|_{H}\leq \|\b{v}\|_{V}=\left(\|\b{v}\|_{L^2}^2 + \|\nabla \b{v}\|_{L^2}^2\right)^{1/2}$$ because the divergence's $L^2$-norm is bounded by the full gradient's $L^2$-norma, no sólo la incompresible (incompresible significa divergencia libre), por lo tanto continuamente de anclaje es cierto.
Va en dimensión finita: Vamos a $V_m \subset V$ ser un espacio de elementos finitos, de la que cada elemento es un seccionalmente continua polinomio de campo vectorial. Por favor, consulte Thomasset del libro en elementos finitos para la ecuación de Navier-Stokes para una construcción de una triangulación de Delaunay, o Brenner y Scott elementos finitos libro del ejercicio 11.x.24, ambos de los cuales tienen la fórmula para el polinomio de campos vectoriales.
Ahora considere la posibilidad de la proyección
$$P_m: H\to V_m\cap\{\b{v} = 0\text{ on }\partial \Omega\}\subset V$$ where the orthogonality is in $H$'s inner product: for any $\b{w}_i\en V_m$
$$
(P_m \b{v} - \b{v},\b{w}_i)_{L^2} + (\mathrm{div}(P_m \b{v} - \b{v}),\mathrm{div}\,\b{w}_i)_{L^2} = 0.
$$
Aviso esta es la misma como la ortogonalidad en $L^2$ a causa de la divergencia libre:
$$
(P_m \b{v} - \b{v},\b{w}_i)_{L^2} =0.
$$
Esto sólo implica la proyección es estable cuando se mide en $L^2$-norma. Ahora reescribir $\b{v}$'s $H^1$-norma si se desvanece en el límite:
$$
\|\b{w}\|^2_{H^1} = \|\b{w}\|^2_{L^2} + \|\mathrm{div}\,\b{w}\|^2_{L^2} + \|\mathrm{curl}\,\b{w}\|^2_{L^2} .
$$
También observe $\b{v}$ es la divergencia libre, por lo tanto, la estabilidad queremos conseguir es delimitada por
$$
\frac{\|P_m \b{v}\|_{V}}{\|\b{v}\|_{H}} = \frac{\|P_m \b{v}\|_{H^1}}{\|\b{v}\|_{H(\mathrm{div})}} = \frac{\left(\|P_m \b{v}\|_{L^2}^2 + \|\mathrm{curl}(P_m \b{v})\|_{L^2}^2\right)^{1/2}}{\|\b{v}\|_{L^2 }}.\la etiqueta{1}
$$
Observe que la curvatura de la proyección de $\b{v}$ puede ser ilimitado para $m\to \infty$, para el curl de $L^2$-norma puede ser escrito como la suma de la norma en cada elemento $K$ en esta triangulación
$$
\|\mathrm{curl}(P_m \b{v})\|_{L^2}^2 = \sum_{K\in \mathcal{T}}\|\mathrm{curl}(P_m \b{v})\|_{L^2(K)}^2
$$
Ahora el uso de la desigualdad de Poincaré de la divergencia libre de campos vectoriales con desvaneció límite:
$$
\|\b{p} - \bar{\b{p}}|_M\|_{L^2(D)} \leq C(D) \|\mathrm{curl}\,\b{p}\|_{L^2(D)},
$$
donde $\bar{\b{p}}_D = \frac{1}{|D|}\int_D \b{p} \,d\b{x}$ es el promedio del vector de campo en $D$. y la de Poincaré constante es el mismo orden que el $n$-ésima raíz de la medida de $D$ donde $n$ es la dimensión de la $D$, en nuestro caso, la dimensión es $n=2$. Por lo tanto
$$
\sum_{K\in \mathcal{T}}\|\mathrm{curl}(P_m \b{v})\|_{L^2(K)}^2 = \sum_{K\in \mathcal{T}}\|\mathrm{curl}(P_m \b{v} - \overline{P_m \b{v}}_K)\|_{L^2(K)}^2 \\
\geq \sum_{K\in \mathcal{T}} O(|K|^{-1}) \| P_m \b{v} - \overline{P_m \b{v}}_K \|_{L^2(K)}^2
\\
\geq \min_{K\in \mathcal{T}} |K|^{-1} \sum_{K\in \mathcal{T}} \| P_m \b{v} - \overline{P_m \b{v}}_K \|_{L^2(K)}^2 \geq O(M)\| P_m \b{v} - \overline{P_m \b{v}} \|_{L^2 }^2,\etiqueta{2}
$$
donde $M = \dim V_m$, que es el número de elemento finito dimensionales aproximación espacio $V_m\subset V$. $\overline{P_m \b{v}}$ restringido en $K$ es el promedio local de campo vectorial.
A ver por qué (1) puede ser ilimitado, se puede elegir un muy osciló secuencia $\{\b{v}_m\}\subset H^1$, de modo que la oscilación no puede ser resuelto por la densidad de esta triangulación en el nivel $m$, por lo que para cada $V_m$:
$$
\| P_m \b{v}_m - \overline{P_m \b{v}_m} \|_{L^2 }\sim \| P_m \b{v}_m\|_{L^2 }.
$$
Creo que la divergencia de vector libre campo de secuencia
$$
\b{v}_m = \big(\sin(Mx)\cos(Mi), -\cos(Mx)\sin(Mi)\big)\in H^1([0,\pi]^2),
$$
donde $M$ es el número de la simplices (triángulos, en este caso) en el nivel de $m$ triangulación $\mathcal{T}_m$.
La desigualdad en (2) es verdadera para la dimensión de $V_m$ depende del número de los simplices en esta triangulación de $\Omega$, por lo que si decimos"$|\Omega| = O(1)$, $O(|K|^{-1})$ es el mismo orden como $M$. Si la triangulación va más fino y más fino, $|K|\to 0$ por cada $K\in \mathcal{T}$, $M\to \infty$, y (1) se convierte en ilimitado para esta secuencia.
Backstory si usted está interesado en elementos finitos para flujo incompresible: el uso de $H^1$-divergencia de los elementos libres para aproximar $H(\mathrm{div})$-regular campos vectoriales no es una buena idea se basa en esto.
