Yo estoy pensando en conseguir a la investigación en la física matemática y quisiera saber acerca de temas interesantes puedo entrar y hacer algunos progresos en.
Soy particularidad de topología y álgebra abstracta y si es posible cualquier temas que implican álgebra abstracta sería/topología/cálculo de variaciones sería especialmente apreciadas
Esto no coincide con sus intereses, pero las cosas de las que hablan son generalmente bien establecido los campos con una enorme historia, y por lo general toma más tiempo para llegar a la vanguardia de la investigación en dichas áreas.
Si usted puede código, no es el interesante problema de la clásica de la turbulencia. Es muy abierta como las matemáticas y la física, y hay un potencial para mucho progreso con simples esquemas numéricos, y ad-hoc ansatzes para el estado estacionario.
Considere la posibilidad de un 2+1 dimensiones lineales de la teoría de campo. Usted puede usar cualquier campo de la teoría, pero se adhieren a 2+1 dimensiones, porque en 1+1 dimensiones, que tienden a golpear demasiados integrable en sistemas de forma aleatoria perdiendo el tiempo a su alrededor. Un buen modelo de sistema de Schrödinger campo de la turbulencia
$$ i{d\psi\over dt} = -{\nabla^2}\psi + \lambda |\psi|^2 \psi + f(x,t)$$
A continuación, configurar una larga longitud de onda de la fuente para el campo, varían $\psi$ mediante f(x,t) = C(t) donde C(t) es una muestra aleatoria de oscilación de la función.
No es un hecho general de que estos tipos de ecuaciones mover la energía de longitudes de onda largas a las cortas, lo que refleja el hecho de que la energía (y de "partículas", total $|\psi|^2$) se conserva. Hay muchos más corta la longitud de onda de los modos de onda larga, así que por lo general obtener una cascada que se mueve la energía de onda larga a la más corta en una escala invariante.
La limitación de las estadísticas de la escala invariante de distribución no es conocido por la mayoría de ecuaciones no lineales, aunque no numéricamente. Para el Navier Stokes ecuación 3+1 dimensión, describiendo esta cascada es el famoso problema de la turbulencia del fluido. Pero la turbulencia es complicado por el hecho de que el tiempo de mezcla para cada modo está determinado por la no linealidad, porque el viscoso plazo es irrelevante en la mezcla régimen. De la ecuación anterior, se tienen las frecuencias de los modos de transporte que debe ser comparable a la mezcla no lineal, y hay va a ser muy interesante, fenómenos, ninguno de los cuales son investigados en cualquier tipo de profundidad.
Este problema es fácilmente abordable con el libro de cocina de métodos numéricos, pero la descripción estadística es esencialmente tan profundo como te gusta. Los artículos de Kraichnan con respecto a la turbulencia del fluido son importantes, pero usted no tiene que saber nada para trabajar este material.
Este problema es conocido como superfluido de la turbulencia, y que podría ser muy bien estudiado. Pero si consideramos otros sistemas no lineales, usted puede encontrar fácilmente los sistemas que nunca han sido consideradas en absoluto. El problema matemático bien definido para casi cualquier nonintegrable no lineal de la ecuación diferencial parcial con una conserva de energía. Si nos atenemos a 2+1 o 3+1 o más) dimensiones, esto es, esencialmente, cada ejemplo. Para ser más específicos, considere la posibilidad de la superficie del agua de las olas impulsadas por un viento constante. ¿Cuáles son las estadísticas de la onda-crestas?
Creo que este es el problema más importante en la PDE hoy en día, y es completamente descuidado debido a la escasez de nuevas ideas y ejemplos interesantes.
Supongo que eres un final de año matemáticas/física estudiante de grado ? En su comentario que dice que prefiere tener un original componente de investigación en el papel. Eso es bastante difícil ya que cuando la gente de la escuela de posgrado, tienden a pasar un año o dos el aprendizaje de la extra especialista material que necesitan para llegar al punto en que puede contribuir a la obra original en un campo.
Siendo realistas, si usted no tiene una gran cantidad de tiempo para aprender cosas nuevas de ti mismo, entonces lo que puedes conseguir es limitada por el nivel de conocimiento de su mentor. Yo recomendaría que el desarrollo de la nueva vanguardia material es demasiado duro, así que una más realista objetivo sería hacer un poco de "original" de trabajo mediante la aplicación de algunas existentes técnicas avanzadas para un problema en particular.
Como ya he dicho, depende de su mentor, pero un ejemplo del tipo de cosas me refiero a que sería tomar un específico clásica de sistema mecánico (algo con restricciones a hacer es no trivial), y describa geométricamente. Establecer, en el diferencial de términos geométricos, el espacio de fase, Hamilton Jacobi ecuación etc. Si tienes tiempo, a ver si se puede aplicar las técnicas de cuantización geométrica . Esto encajaría con los campos que mencionas.
Esta lista de cursos ofrecidos. otras universidades también estaría en una línea similar, pero este al una menos le daría una idea.
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