Sólo dos partes: problema de Fourier transforma y la convergencia de las distribuciones de templado

Question

Hace poco me encontré con este problema de Folland real del análisis de la segunda edición que implican una pregunta específica sobre las distribuciones (ejercicio 19 (página 299), que se lee como sigue:

En $ R $ deje $ F_0 = PV(\frac{1}{x}) $ donde PV es el acrónimo de "Principio de Valor" y se define como sigue: $ \langle PV(f),\phi\rangle = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{|x|>\epsilon} f(x)\phi(x) \, dx $ todos los $ \phi \in C_C^\infty $. También para $ \epsilon > 0 $ definimos $ F_\epsilon(x) = x(x^2+\epsilon^2)^{-1} $, $ G_\epsilon^\pm(x)=(x \pm i\epsilon)^{-1} $ y $ S_\epsilon(x) = \operatorname{sgn}(x) e^{-2 \pi \epsilon |x|} $

una. Vamos a probar a $ \lim_{\epsilon \to 0} F_\epsilon=F_0 $ en la topología débil* $ \mathcal{S}' $ (distribuciones de Schwartz clase de funciones, donde se define la topología débil en el habitual punto de sabios convergencia sentido). Como sugerencia, se dijo a utilizar el teorema de debajo de la pregunta con a=0.

b. Vamos a demostrar que $ \lim_{\epsilon \to 0} G_\epsilon^\pm = F_0 \mp i \pi \delta $ (Sugerencia : $(x \pm i\epsilon )^{-1} = (x \mp i\epsilon)(x^2+\epsilon ^2)^{-1} $).

c. Vamos a demostrar que $ \widehat{S}_\epsilon = (i\pi)^{-1} F_\epsilon $ y, por tanto,$ \widehat{\operatorname{sgn}} = (i\pi)^{-1}F_0 $.

d. De la parte c de ello se sigue que $ \widehat{F}_0 = -i\pi \operatorname{sgn} $. Vamos a probar esta directamente demostrando $ \lim_{\epsilon \to 0 , N \to \infty } H_{\epsilon,N} = F_0 $ donde definimos $ H_{\epsilon,N} $ $ \frac{1}{x} $ si $ \epsilon < |x| < N $ y 0 en caso contrario, y a través del ejercicio en la parte inferior.

e. Vamos a calcular $ \widehat{\chi}_{(0,\infty)} $ (i) Por escrito, $\chi = \frac{1}{2} \operatorname{sgn} + \frac{1}{2} $ y por el uso de la parte c (ii) mediante el uso de $ \chi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} e^{-x\epsilon} \chi_{(0,\infty )} $ y por el uso de b.

El teorema de instrucciones para el uso (la Notación que se usa aquí es para $ \phi \in \mathbb R^n $ definimos $ \phi_t(x) = t^{-n} \phi(t^{-1}x) $) :

El ejercicio instrucciones:

Aquí es donde mis problemas son: no puedo parecer para abordar cualquiera de las partes a,b,c,d y también la parte e, tan simple como suena, he intentado hacer pero siempre terminaban algunos cerca de resultado, pero con algo malo. Así que realmente necesita la ayuda de esta con el fin de hacerlo, me doy cuenta de que es una larga pregunta, pero yo traté de preguntar a dos personas que conozco y que no me podía ayudar, y por supuesto, agradezco la ayuda en esto. Gracias a todos los ayudantes.

*********** Lo siento, acabo de agregar la notación para el teorema de la que me trajo aquí

Answer 1

Para la parte. Yo no uso el teorema; hice lo siguiente: Supongamos $g$ es acotada y continua en $\mathbb {R}$ $g(0)=0.$ $$\tag 1 \int_0^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}g(x)\,dx - \int_\epsilon^\infty \frac{1}{x}g(x)\,dx \to 0$$ como $\epsilon\to 0.$ Esto demuestra el resultado que buscamos: Para $\phi \in S,$ nos fijamos en $$\int_{-\infty}^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}\phi(x)\,dx \int_{|x|>\epsilon} \frac{1}{x}\phi(x)\,dx $$ $$= \int_{0}^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}(\phi(x)-\phi(-x))\,dx - \int_\epsilon^\infty \frac{1}{x}(\phi(x)-\phi(-x))\,dx,$$ que $\to 0$ $(1).$

Para demostrar $(1),$ primer observar que $$ \int_0^\epsilon \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}g(x)\,dx \to 0.$$ Ver que al permitir que el $x=\epsilon y.$, a Continuación, utilizar la DCT y la continuidad de la $g$ $0$ $g(0)=0.$ Así que tenemos que mirar

$$\int_\epsilon^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}g(x)\,dx \int_\epsilon^\infty \frac{1}{x}g(x)\,dx = \int_\epsilon^\infty \frac{-\epsilon^2}{x(x^2 + \epsilon^2)}g(x)\,dx = - \int_1^\infty \frac{-1}{y(y^2 + 1)}g(\epsilon y)\,dy.$$ Como en el anterior, la DCT y los supuestos sobre los $g$ mostrar esta $\to 0.$

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b. $$\int_{\mathbb {R}} \frac{1}{x + i\epsilon}\phi(x)\,dx = \int_{\mathbb {R}} \frac{x-i\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}\phi(x)\,dx = \int_{\mathbb {R}} \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}\phi(x)\,dx - i\int_{\mathbb {R}} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}\phi(x)\,dx.$$

Sabemos cómo la primera integral de la derecha se comporta de una., y supongo que usted sabe que la segunda integral de la $\to \pi \phi(0).$

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Ideas básicas para d. Paso 1, Lema: $$\lim_{h\to 0^+} \int_h^{1/h} \sin(xt)/x \, dx = (\pi/2)\text {sgn} (t).$$ Para la prueba del lema, vamos a $x=y/t$ y usar el ejercicio.

Paso 2: Para $h>0$ definir $F_h(\phi) = \int_{h<|x|<1/h}\phi(x)/x \, dx.$ Compruebe que $F_h \to F_0$ $h\to 0^+.$ por lo tanto $F_0(\hat{\phi}) = \lim_{h\to 0^+} F_h(\hat{\phi}).$

Paso 3: Se puede evaluar $F_h(\hat{\phi})$ mediante la definición de $\hat{\phi}$ e invertir el orden de integración. Tenemos $$F_h(\hat{\phi}) = \int_{\mathbb {R}}\phi (t) \int_{h<|x|<1/h}\frac{e^{-ixt}}{x} \, dx = \int_{\mathbb {R}}\phi (t) (-2i)\int_h^{1/h}\frac{\sin(xt)}{x} \, dx\,dt.$$

Paso 4: Compruebe el interior de las integrales son uniformemente acotadas para todos los $h,t.$ el Uso de la lema y la DCT para dejar $h\to 0^+$ para obtener el resultado deseado.