¿Podría alguien por favor mostrarme un ejemplo de álgebra finito dimensional no conmutativa asociativa división sobre el campo de números racionales $Q$ distintas álgebras cuaternión?
Respuesta
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Hay muchas construcciones. Uno muy simple es el siguiente:
Deje $K/F$ ser cíclica de la extensión de los campos de grado $n$ y deje $\sigma$ ser un generador del grupo de Galois $G=Gal(K/F)$. Deje $N_{K/F}(K^\times)$ ser el subgrupo del grupo multiplicativo $F^\times$ de las normas de no-cero elementos de $K$, y deje $\alpha\in F^\times$ ser un elemento de orden $n$ modulo $N_{K/F}(K^\times)$. A continuación, el $K$-espacio vectorial $$A=K\oplus xK\oplus x^2K\oplus\cdots\oplus x^{n-1}K$$ with basis $\{1,x,\dots,x^{n-1}\}$ is an $F$-algebra with multiplication extending that of $K$ and such that $$kx=x\sigma(k), \qquad\forall k\in K$$ and $$x^n=\alpha$$ is an associative division $F$-álgebra.
Por lo que podemos hacer este general de contrucción con $F=\mathbb Q$. Por ejemplo, el polinomio $f=X^3-3X-1\in\mathbb Q[X]$ tiene discriminante $81$, que es un cuadrado, por lo que su grupo de Galois $G$ sólo tiene incluso permutaciones: desde $f$ es irreductible, vemos que $G$ es cíclico de orden $3$.
Deje $\zeta$ ser una raíz de $f$$\mathbb Z$, y deje $K=\mathbb Q[\zeta]$. A continuación, $K/\mathbb Q$ es una extensión cíclica de grado $3$. Un generador de $\sigma$ del grupo de Galois de mapas de $\zeta$$2-\zeta^2$. La norma del elemento $a+b\zeta+c\zeta^2$ es $$N_{K/F}(a+b\zeta+c\zeta^2)=a^3+6 a^2 c-3 a b^2-3 a b c+9 a c^2+b^3-3 b c^2+c^3.$$ Now we need an number $\alpha\in\mathbb P$ such that its cube is in the image on $N_{K/\mathbb Q}$ but which itself isn't there. I think $2$ works (its cube is $N(-2\zeta-2\zeta^2)$, but one has to check that $2$ is not a norm...) The above construction, then, provides us with a rational division algebra of dimension $9$.
Alguien puede comprobar que $2$ no es una norma?
