Homología de los puntos de la pila

Question

Esta es una pregunta muy básica acerca de cómo las definiciones en la homología de llevar a la más fácil ejemplo de pilas. Deje $G$ ser finito cíclico grupo. Considerar la clasificación de la pila de $\mathcal{B}G$. Esto tiene un (nonrepresentable) morfismos a un punto: $st:\mathcal{B}G\to P$. ¿Qué la gente quiere decir cuando dicen que "la clase fundamental" $[\mathcal{B}G]$$\mathcal{B}G$? (No sé cómo homología lleva a través de las pilas.) Por ejemplo, es cierto que $st_*[\mathcal{B}G]=[P]$? O que $st^*[P]=[\mathcal{B}G]$? Son estos equivalente?

Mi opinión: a mí me parece que el mapa de $st$ debe ser considerado como de "grado" $1/|G|$. Debido a esto me parece que debe tener $st^*[P]=|G|[\mathcal{B}G]$. No estoy seguro de qué podría decir acerca de $st_*[P]$.

Gracias!

Answer 1

Voy a escribir $\text{Spec}(k)$ en lugar de $P$. Voy a escribir $\mathcal{X} = [\text{Spec}(k)/G]$ para la clasificación de la pila de $G$$\text{Spec}(k)$. Aquí $G$ es cualquier grupo finito. Luego tenemos a los morfismos $\text{Spec}(k) \to \mathcal{X} \to \text{Spec}(k)$ cuya composición es la identidad. La primera de morfismos viene de la trivial torsor sobre $G$ y es representable, surjective, finito \'etale de morfismos de grado $|G|$. Por tanto, parece natural suponer que la segunda morfismos (que no es representable, pero es correcto, surjective, y \'etale) tiene un grado $1/|G|$.

Por analogía con la topología, para cualquier teoría razonable de las clases fundamentales de la primera morfismos sería el mapa de la clase fundamental de $\text{Spec}(k)$ $|G|$los tiempos de la clase fundamental de $\mathcal{X}$ y, por tanto, el segundo de morfismos sería el mapa de la clase fundamental de $\mathcal{X}$ $1/|G|$los tiempos de la clase fundamental de $\text{Spec}(k)$. En otras palabras, el "grado" de $\mathcal{X}$$k$$1/|G|$.

Esto es lo que sucede en la intersección de la teoría algebraica de las pilas, \'a la Vistoli, etc, etc.