Relación entre el exterior (segunda) derivados $d^2=0$y segunda derivada en cálculo multivariable.

Question

¿Qué tiene que ver con la segunda derivados como en single o multi variable cálculo un exterior derivado de la (segundo) como en $d^2=0$? Es esto un comienzo correcto:

Derivados de cálculo sirven para Taylor expansiones (y optimización) y curvatura.

Derivados exteriores son necesarios para la integración y son esenciales para la generalización del teorema Fundamental de cálculo (es decir, el teorema de Stokes).

Answer 1

Buena pregunta! Aquí es un buen comienzo. El ordinario derivado en una variable cálculo es una Mentira derivado a lo largo de un especial campo de vectores en $\mathbb{R}$; en particular, no es un caso especial del exterior derivados. El exterior derivado es el lugar a algún tipo de "universal derivado": se registra toda la información que usted necesita para determinar la derivada de una función a lo largo de cualquier campo vectorial, por ejemplo. En particular, a diferencia de los ordinarios derivados, el exterior de la derivada de una función es un tipo diferente de objeto, es decir, un $1$-forma. En términos generales, a una $1$-forma es "el tipo de cosas que las parejas con un campo de vectores para devolver un número," así que usted puede ver la relación que hay a lo que he dicho anteriormente.

Answer 2

Que $d^2 = 0$ es probablemente algo que se enseña en cálculo vectorial.

Por ejemplo, usted probablemente recuerda que $\nabla \times \nabla \phi = 0$ $\phi$ un campo escalar, o que $\nabla \cdot (\nabla \times E) = 0$ $E$ un campo de vectores. Es un buen ejercicio para demostrar que ambos de estos puede ser escrito como $d^2 f = 0$$d^2 E = 0$.

Por supuesto, usted sabe que $\nabla$ puede ser escrita en términos de las derivadas parciales:

$$\nabla = (dx) \frac{\partial}{\partial x} + (dy) \frac{\partial}{\partial y} + dz \frac{\partial}{\partial z}$$

Usted también debe saber que el anterior cálculo vectorial identidades se basan en la igualdad de la mezcla de derivadas parciales:

$$\nabla \times \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} dx \times dy + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} dy \times dx + \ldots$$

Pero desde $dx \times dy = -dy \times dx$, la igualdad de la mezcla de derivadas parciales, esto reduce a cero. La lógica es similar para el vector de campo de caso.