Mostrar que $f(x) = \log(x + \sqrt {x^2+1})$ es una función impar

Question

Necesito demostrar que $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ es una función impar y de lo que puedo entender de esta cuestión (que se encuentra durante la búsqueda): ¿Qué es una función impar?, tengo que demostrar que $f(-x)=-f(x)$. Me ha costado averiguar durante horas pero no pude encontrar una solución.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

$$f(x)+f(-x)=\log\left[\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\cdot\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]=\log(x^2+1-x^2)=0.$$

Answer 2

$$f(-x) = \ln\left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \ln\left( \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \frac{x +\sqrt{x^2 + 1}}{x +\sqrt{x^2 + 1}} \right) \\ = \ln\left(\frac{1}{x +\sqrt{x^2 + 1}}\right) = -f(x)$$

Answer 3

Sugerencia:

usar $$(a-b)*(a+b) = a^2 - b^2$$ and $$\log\frac{1}{a} = - \log(a) $ propiedades de $.

Answer 4

Por definición, $f(-x)$ es impar si y sólo si $f(-x)=-f(x)$

Ahora, tenemos $$f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$$ setting $ x=-x$, we get $$f(-x)=\log((-x)+\sqrt{(-x)^2+1})$$ $$f(-x)=\log(-x+\sqrt{x^2+1})$$ $$=\log(\sqrt{x^2+1}-x)$$$$=-\log\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\right)$$ $$=-\log\left(\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}\right)$$ $$=-\log\left(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{(\sqrt{x^2+1})^2-(x)^2}\right)$$ $$=-\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$$$=-f(x)$$ Hence the given function $f(x)$ es impar.

Answer 5

Podemos utilizar el hecho de que si $f'(x)$ es una función uniforme, entonces la función $f(x)$ es impar.

o si si $f'(x)$ es una función impar, entonces la función $f(x)$ es.

Tan aquí $$\displaystyle f(x) = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\;,$$ Then $% $ $\displaystyle \frac{d}{dx}(f(x)) = \frac{d}{dx}\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]$

Así $$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2+1})}\cdot \left(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ $

Tan aquí $$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\;,$$ So $$f'(-x) = f'(x)$$ So Here $ f (x) $ es una función uniforme.

Por lo tanto la función $f(x) = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ es una función impar.