Por favor me ayude a demostrar por inducción que $n^n>1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)$

Question

Por favor ayudarme a demostrar por inducción que n$ ^ n > 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1) $$

Answer 1

Sugerencia:

$$\rm (n+1)^{n+1}>(2n+1)n^n$$

$$\large\Updownarrow $$

$$\rm \left(1+\frac{1}{n}\right)^n>\binom{n}{0}+\binom{n}{1}\frac{1}{n}=2>\frac{2n+1}{n+1}$$

Answer 2

Esta es la prueba sin la inducción. $$ 1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 2n}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 2n}= \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 2n}{(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\cdot\ldots\cdot (2\cdot n)}= $$ $$ \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot 2n}{2^n\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n}= \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot\ldots\cdot 2n}{2^n} $$ Así que había que probar que $$ n^n>\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot\ldots\cdot 2n}{2^n} $$ Pero la última desigualdad es evidente, ya que $$ \frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot\ldots\cdot 2n}{2^n}= \frac{n+1}{2}\frac{n+2}{2}\cdots\frac{n+n}{2}<n\cdot n\cdot\ldots \cdot n=n^n $$

Answer 3

% Toque $\ $uso telescopy: una inducción trivial muestra un producto de términos $> 1$ $> 1$. Aplicando esto a

$$\rm\ f(n)\ =\ \frac{f(n)}{\color{red}{f(n-1)}}\ \frac{\color{red}{f(n-1)}}{\color{green}{f(n-2)}}\ \frac{\color{green}{f(n-2)}}{\cdots }\ \cdots\ \frac{\cdots}{\color{brown}{f(3)}}\ \frac{\color{brown}{f(3)}}{\color{blue}{f(2)}}\ \frac{\color{blue}{f(2)}}{1}$$

producto $\rm\:f(n) > 1\:$ si cada factor es, es decir, si $\rm\:f(2) > 1\:$ y $\rm\:f(k+1)/f(k) > 1\:$ $\rm\:k\ge 2.\:$ pero tu $\rm\:f(n) = n^n/(1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n\!-\!1)\:$ tal satisface por un cálculo fácil (ver anon ha responder).

Answer 4

$$ \frac {(n+1) ^ {n+1}} {n ^ n} = (n + 1) \left (1 + \frac {1} {n} \right) ^ n\ge (n + 1) \left (1 + n\cdot\frac {1} {n} \right) = 2n + 2 > 2n + 1 $$

Answer 5

Esto podría ser un método interesante. Para k>1 y aun n>0, demostrar que

$n^{2k}>[n-(2k-1)]\times[n-(2k-3)]\times...(n-1)\times(n+1)\times...\times[n+(2k-3)]\times[n+(2k-1)]$

Nuestro caso base: $n^2>n^2-1=(n-1)\times(n+1)$

Ahora el paso inductivo: Supongamos cierto para $k=m$, justificado por $k=m+1$

$n^{2m}>[n-(2m-1)]\times[n-(2m-3)]\times...\times[n+(2m-3)]\times[n+(2m-1)]$

$n^2>n^2-(2m+1)^2=[n-(2m+1)]\times[n+(2m+1)]$

Multiplique la parte superior de la desigualdad por $[n-(2m+1)]\times[n+(2m+1)]$ y la parte inferior por $n^{2m}$ para obtener

$n^{2(m+1)}>[n^2-(2m+1)^2]\times n^{2m}>[n-(2m+1)]\times[n-(2m-1)]\times...\times[n+(2m-1)]\times[n+(2m+1)]$.

Esto completa el paso inductivo y hemos demostrado nuestro caso para k>1. Esto incluye el caso de $k=\frac n2$.

El extraño caso debe ser similar, excepto que usted probablemente tendrá que usar ese $n>0$ como usted probablemente tendrá que multiplicar o dividir por potencias impares de n que podría revertir las desigualdades si $n<0$.