Armónica de la función compuesta con mapa de conformación es armónica (en R^n)

Question

Esta es la configuración: Vamos a $U,V$ abrir $\subset \mathbb{R}^n$, y deje $u:V\rightarrow \mathbb{R}$ ser armónica, y $v:U\rightarrow V$ ser de conformación, es decir, $v$ $C^1$ y el Jacobiano $J_v(x)$ es un escalar múltiples de una transformación ortogonal para todos [; x\U ;].

Estoy tratando de demostrar $u\circ v$ es armónico. [He visto que esta establecido como un hecho en algunos lugares, sin hacer referencia, es decir, aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map#Uses pero tal vez mi hipótesis son ligeramente diferentes y esto no es cierto en todos los]

He visto una prueba de que si $u$ $C^2$ $T$ es una transformación ortogonal entonces

$\Delta (u \circ T) = \Delta(u) \circ T$.

Así que estoy pensando que para mostrar $u\circ v$ es armónico, podemos utilizar el hecho de que $v$ actúa localmente como su Jacobiana, que es una transformación ortogonal, y mover el Laplaciano en $u$ y la conclusión de $u\circ v$ es armónico.

Sin embargo, estoy teniendo problemas para hacer esta idea precisa. Después de mirar a mi copia de bebé Rudin, mi corazonada es utilizar el teorema de la función inversa o constante rango teorema, pero no estoy seguro de cómo aplicar esas. Alguna sugerencia?

Answer 1

Aquí es un intento de solución:

Deje $x_0\in U$, ya que el $U$ está abierto hay un $\delta>0$ tal que $B(x_0,\delta)\subset U$ y la de Taylor teorema (el uso de $v\in\mathcal{C}^1$):

$v(x) = v(x_0)+\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)$ algunos $x_{\epsilon}\in B(x_0,\delta)$

Queremos mostrar que $\Delta u(v(x_0)+\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0))=0$$\forall x\in B(x_0,\delta)$.

El hecho de que $\nabla v(x_{\epsilon})^T$ es ortogonal y el teorema afirma en la pregunta que nos tenemos

$\Delta u(\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0))=\Delta (u)\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)=0$ $\forall x\in B(x_0,\delta)$.

Si $v(x_0)$ es el vector cero, entonces hemos terminado. Otra cosa $v(x_0)+\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)$ es una traducción de $\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)$ por una constante de vectores $v(x_0)$ que es una transformación ortogonal. Deje que esta traducción se denota como el lineal ortogonal operador $T_{v(x_0)}$, entonces tenemos

$\Delta u(T_{v(x_0)}[\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)]) = \Delta (u\circ T_{v(x_0)})\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)$

como $v(x_{\epsilon})^T$ es ortogonal y

$\Delta (u\circ T_{v(x_0)})\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0)= \Delta (u)\circ T_{v(x_0)}(\nabla v(x_{\epsilon})^T(x-x_0))=0$

como $T_{v(x_0)}$ es ortogonal.

Desde $x_0$ cualquier punto en $U$ hemos demostrado que la $\Delta(u\circ v)=0$ $U$ y por lo tanto es una función armónica.