$\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ no homeomórficos

Question

¿Alguien puede explicar ¿por qué me $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ no homeomórficos?

Gracias.

Answer 1

$\mathbb{Z}$ es discreto (lo que significa que cada subconjunto abierto), mientras que $\mathbb{Q}$ no tiene puntos aislados (lo que significa que no singleton conjunto es abierto; de hecho, ningún conjunto finito es abierto).

Answer 2

Cualquier homeomorphism de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$tendría que ser un bijection y así la preimagen del singleton $\{0\}$ $\mathbb{Z}$ (que es abierto) tendría que ser un singleton en $\mathbb{Q}$. Sin embargo, preimages de abrir los conjuntos son abiertos por la definición de continuidad y de modo que existe un abierto singleton en $\mathbb{Q}$ lo cual es una contradicción, porque $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$.

Answer 3

$\Bbb Z$ es un espacio métrico completo. mientras que $\Bbb Q$ no es completamente metrizable - que significa que no existe una métrica que sea completa y se induce la norma $<$ topología en $\Bbb Q$.

Por lo tanto, $\Bbb Q$ no puede ser homeomórficos a cualquier espacio métrico completo y, en particular, no es homeomórficos a $\Bbb Z$.