Matriz de cambio de base.

Question

Considerar la base $B=\left\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} \right\}$$\mathbb{R}^3$.

A) Encontrar la matriz de cambio de base para la conversión de la norma de base a la base B.

Nunca he hecho algo como esto y los únicos ejemplos que se pueden encontrar en línea, básicamente, dime cómo hacer el cambio de base para el "cambio de coordenadas de la matriz de la B a la C".

B) Escribe el vector $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$ en B-coordenadas.

Obviamente, yo no puedo hacer esto si me puedo completar la parte A.

Puede alguien darme una pista, o, preferiblemente, me guía hacia un ejemplo de este tipo de problema?

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La absoluta única cosa que puedo pensar es que tome una matriz ampliada $[B E]$ (nota - E en este caso es el estándar de base, porque no sé la notación correcta) y la fila reducir hasta que B es la matriz estándar. Esto es básicamente encontrar la inversa, así que dudo de que esto es correcto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Denotar $E$ de la base canónica de $\mathbb{R}^3$.

A) Estos tres vectores columna definir un $3\times 3$ matriz $$P=\left(\matrix{-1&-1&1\\1&0&1\\0&1&1}\right)$$ que es la matriz de la aplicación lineal mapa $$ Id:(\mathbb{R}^3,B)\longrightarrow (\mathbb{R}^3,E). $$ Esto significa en particular que siempre que haga lo multiplicamos por un vector columna $(x_1,x_2,x_3)$ donde $x_j$ están las coordenadas de un vector $x=x_1B_1+x_2B_2+x_3B_3$ con respecto a la base $B$, se puede obtener las coordenadas de $x$ en la base canónica $E$.

Lo que quiero es que la matriz de $$ Id:(\mathbb{R}^3,E)\longrightarrow (\mathbb{R}^3,B). $$ Que es $P^{-1}$, la inversa de la matriz anterior. Esto transformará, por derecho de multiplicación, las coordenadas de un vector con respecto a $E$ en sus coordenadas con respecto a $B$. Esa es la matriz de cambio de base que usted necesita.

B) Como se explicó anteriormente, usted sólo tiene que derecho multiplicar la matriz de cambio de base $P^{-1}$ por este vector columna.

Verifique su respuesta: usted debe encontrar

$$P^{-1}=\left(\matrix{-1/3&2/3&-1/3\\-1/3&-1/3&2/3\\1/3&1/3&1/3} \right)$$ $$\left(\matrix{-1/3&2/3&-1/3\\-1/3&-1/3&2/3\\1/3&1/3&1/3} \right)\left(\matrix{1\\0\\0}\right)=\left(\matrix{-1/3\\-1/3\\1/3}\right).$$

Answer 2

Solo para aclarar 1015 respuesta para mí

Tenemos

$$B = [\vec b_1 \vec b_2 \vec b_3] = E \left[\matrix{-1&-1&1\\1&0&1\\0&1&1}\right] = E [B]_E = EP$$

Se dice que el $P = [B]_E$ se compone de columnas de a $b_n$, la base de vectores $b_n$ en base estándar $E = [\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]$, por lo que

$$\vec b_1 = [\vec e_1 \vec e_2 \vec e_3] \left[\matrix{-1\\1\\0}\right].$$

Ahora, podemos representar cualquier vector en la base E y en base B

$$\vec v = E [\vec v]_E = B [\vec v]_B = E P [\vec v]_B$$

o

$$[\vec v]_E = P [\vec v]_B$$

Vemos que P se traduce vector de B-coordenadas en E-coordenadas.

En Un problema), tenemos P, de coordenadas $[\vec v]_E$ de vector $\vec v$ E, y desea calcular en $[\vec v]_B$. Que es fácil a partir de la última ecuación,

$$[\vec v]_B = P^{-1}[\vec v]_E.$$

Usted ve, $P^{-1}$ hace la conversión. Yo lo llamo la inversa de la matriz de cambio de base. 1015 ya ha calculado que para su comodidad. Yo sólo quería explicar por qué.

Para el problema B), basta con conectar $[\vec v]_E = \left[\matrix{1\\0\\0}\right].$ supongo que el estándar de base, aunque me gustaría saber por qué. Del mismo modo, me gustaría saber por qué no se especifica la base para los componentes de B.

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Cabe señalar sin embargo que los libros de texto normalmente tienen $$\vec v = E[\vec v]_e = EPP^{-1}[\vec v]_e = B [\vec v]_b$$ so that basis is translated by right-multiplying with change of basis matrix $P$, $$B = EP,$$ and coordinates are translated contravariantly, $[\vec v]_b = P^{-1} [\vec v]_e$.

Por alguna razón 1015 ha elegido el inverso $P^{-1}$, se utiliza para traducir las coordenadas, para ser la matriz de cambio de base.