Prob 12, Sec 26 en TOPOLOGÍA de Munkres, 2ª ed: ¿Por qué necesitamos la continuidad para mostrar el resultado?

Question

Dejemos que $f: X\mapsto Y$ sea un mapa suryectivo continuo cerrado tal que $f^{-1}(y)$ es compacto, para cada $y\in Y$ . Demuestre que si $Y$ es compacto, entonces $X$ es compacto.

Mi pregunta es por qué necesitamos $f$ sea continua? Parece que puedo demostrar este resultado sin continuidad.

Aquí está mi prueba:

Dejemos que $\left\{ U_{\alpha}:\alpha\in J\right\} $ ser una cubierta abierta de $X$ . Desde $f$ es suryente y $f^{-1}\left(y\right)$ es compacto, para cualquier $y\in Y$ existe un conjunto finito $J_{y}\subset J$ tal que $\left\{ U_{\alpha}:\alpha\in J_{y}\right\} $ es una cubierta abierta de $f^{-1}\left(y\right)$ . Supongamos que podemos encontrar un conjunto finito $\tilde{Y}\subset Y$ , de manera que $\left\{ U_{\alpha}:\ \alpha\in\cup_{y\in\tilde{Y}}J_{y}\right\} $ cubre $X$ Entonces, hemos terminado.

Para cualquier $y\in Y$ , $\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}$ es un abierto conjunto en $X$ . Por lo tanto, $X-\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}$ está cerrado. Como $f$ es un mapeo cerrado, sabemos que $Y-f\left(X-\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}\right)$ está abierto. Desde $y\in Y-f\left(X-\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}\right)$ , existe un neo-barrio $V_{y}$ de $y$ , de tal manera que $V_{y}\subset Y-f\left(X-\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}\right)$ . En otras palabras, $f^{-1}\left(V_{y}\right)\subset\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}$ . Desde $Y$ es compacto, existe un conjunto finito $\tilde{Y}$ tal que $Y\subset\cup_{y\in\tilde{Y}}V_{y}$ . Por lo tanto, $$ X=f^{-1}\left(Y\right)\subset f^{-1}\left(\cup_{y\in\tilde{Y}}V_{y}\right)=\cup_{y\in\tilde{Y}}f^{-1}\left(V_{y}\right)\subset\cup_{y\in\tilde{Y}}\left(\cup_{\alpha\in J_{y}}U_{\alpha}\right)=\cup_{\alpha\in J'}U_{\alpha} $$ donde $J'=\cup_{y\in\tilde{Y}}J_{y}$ es un conjunto finito. Q.E.D.

[He leído un post anterior ( Prob 12, Sec 26 en Munkres' TOPOLOGY, 2nd ed: ¿Cómo demostrar que el dominio de un mapa perfecto es compacto si su rango es compacto? ) y la prueba de la misma, pero todavía no puedo conseguir una pista. Como nuevo commer, no puedo dejar un comentario allí].

Answer 1

Parece que tienes razón. Creo que tu prueba es válida y la continuidad no es necesaria para esta prueba del Problema de Munkres número 12 de la sección 26 Conectividad y compacidad .

De hecho, esto ya fue discutido por algunas otras personas.

• Una bonita presentación de una prueba que ya argumenta que la continuidad no es necesaria para una prueba viene dada por Vadim@dbFin en Munkres: Sección 26

• Ya ha señalado esto relacionado Pregunta sobre el MSE en su pregunta.

• Hay otro Pregunta sobre el MSE presentando una prueba del problema y preguntando también si es necesaria la continuidad. @DanielFischer también proporcionó una respuesta clara a esta pregunta.

Nota: Veamos la formulación precisa del problema. En mi versión de Topología de Munkres (edición 2) se indica como

12. Dejemos que $\rho:X\rightarrow Y$ sea un mapa suryectivo continuo cerrado tal que $\rho^{-1}(\{y\})$ es compacto, para cada $y\in Y$ . (Este mapa se llama mapa perfecto .) Demuestre que si $Y$ es compacto, entonces $X$ es compacto.

Parece que Munkres también tenía el término técnico mapa perfecto en mente. De lo contrario, no lo habría escrito en negrita.

Así pues, veamos la definición de _mapa perfecto_ :

Definición: Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos y que $p$ sea un mapa de $X$ a $Y$ es decir continuo , cerrado, suryente y tal que $p^{-1}(y)$ es compacto con respecto a $X$ para cada $y$ en $Y$ . Entonces $p$ se conoce como mapa perfecto .

Observamos que continuidad es una propiedad necesaria de un mapa perfecto . Y el primer ejemplo en esta página Wiki es

Si $p : X\rightarrow Y$ es un mapa perfecto y $Y$ es compacto, entonces $X$ es compacto.

Esto no implica, por supuesto, que la continuidad sea necesaria. Para este ejemplo de mapas perfectos la continuidad es sólo un subproducto. Por lo tanto, tal vez Munkres ha pensado en términos de mapas perfectos y esta fue la razón para incluir la continuidad en su problema.