Intervalos de confianza retrotransformados

Question

Habiendo encontrado esta discusión Planteo la cuestión de las convenciones de los intervalos de confianza retrotransformados.

Según este artículo el IC nominal de cobertura retrotransformado para la media de una variable aleatoria log-normal es:

$\ UCL(X)= \exp\left(Y+\frac{\text{var}(Y)}{2}+z\sqrt{\frac{\text{var}(Y)}{n}+\frac{\text{var}(Y)^2}{2(n-1)}}\right)$ $\ LCL(X)= \exp\left(Y+\frac{\text{var}(Y)}{2}-z\sqrt{\frac{\text{var}(Y)}{n}+\frac{\text{var}(Y)^2}{2(n-1)}}\right)$

/y no los ingenuos $\exp((Y)+z\sqrt{\text{var}(Y)})$ /

Ahora, cuáles son esos IC para las siguientes transformaciones:

1. $\sqrt{x}$ y $x^{1/3}$
2. $\text{arcsin}(\sqrt{x})$
3. $\log(\frac{x}{1-x})$
4. $1/x$

¿Qué hay del intervalo de tolerancia para la propia variable aleatoria (me refiero a un único valor de muestra extraído al azar de la población)? ¿Existe el mismo problema con los intervalos retrotransformados, o tendrán la cobertura nominal?

Answer 1

¿Por qué haces transformaciones de espalda? Eso es fundamental para responder a tu pregunta, porque en algunos casos la transformación ingenua es la respuesta correcta. De hecho, creo que voy a argumentar que, si la transformación inversa ingenua no es la respuesta correcta, entonces no deberías hacer una transformación inversa en absoluto.

La cuestión general de la transformación de la espalda me parece muy problemática y a menudo llena de ideas confusas. Mirando el artículo que has citado, ¿qué les hace pensar que es una cuestión razonable que el IC transformado hacia atrás no capture la media original? Es una interpretación errónea de los valores transformados hacia atrás. Piensan que la cobertura debe ser para el análisis directo en el espacio transformado hacia atrás. Y entonces crean una retrotransformación para corregir ese error en lugar de su interpretación.

Si haces tus análisis en valores logarítmicos, entonces tus estimaciones e inferencias se aplican a esos valores logarítmicos. Mientras consideres cualquier retrotransformación como una representación de cómo se ve ese análisis logarítmico en el espacio exponencial, y sólo como eso, entonces estás bien con el enfoque ingenuo. De hecho, es preciso. Eso es cierto para cualquier transformación.

Hacer lo que están haciendo resuelve el problema de intentar convertir la IC en algo que no es, una IC de los valores transformados. Esto está plagado de problemas. Considere el aprieto en el que se encuentra ahora, los dos posibles IC, uno en el espacio transformado en el que hace sus análisis, y otro transformado hacia atrás, hacen declaraciones muy diferentes sobre dónde está el mu probable en el otro espacio. La transformación inversa recomendada crea más problemas de los que resuelve.

Lo mejor que se puede sacar de ese documento es que cuando se decide transformar los datos, esto tiene un impacto más profundo de lo esperado en el significado de las estimaciones e inferencias.