¿por qué sucesivas funciones propias tienen más de oscilación?

Question

Me dijeron que el siguiente argumento de por qué las sucesivas funciones propias tienden a tiene más de oscilaciones:

1. Supongamos (sin tener que preocuparse por qué) que la primera eigenfunction tiene la menor oscilación.

2. La segunda eigenfunction es ortogonal a la primera, por lo que deben tener ambos positivos y negativos de las piezas en la región donde el 1 de eigenfunction es positivo, y de manera similar para la región correspondiente a la parte negativa de la 1ª eigenfunction (si los hubiere).

3. Así, cada eigenfunction tiene más oscilaciones que el anterior.

Aunque sin duda, creo que la conclusión es verdadera, no acabo de ver que este es un argumento sólido. Supongamos que el primer eigenfunction es $\sin(x)$. A continuación, la segunda eigenfunction puede ser $-\sin(x)$, que es ortogonal a la primera. Así, uno puede encontrar una ortogonal función sin utilizar el paso 2 en el argumento, así que (para mí) el argumento falla. [Edit: un gran error aquí, no sé cómo estaba pensando que el pecado, el pecado son ortogonales, que ciertamente no son]

Existe una mejor intuitiva argumento de `las sucesivas funciones propias tienen más de oscilación"? (O, señalar el error en mi pensamiento o descripción)

Answer 1

El modelo de $\sin(nx)$ funciones $x \in [0,\pi ]$captura la pregunta bien (suponiendo que el límite de las condiciones de la fuerza de la función a cero en los extremos). Sólo hay uno que es positivo en todas partes excepto en los extremos, así que usted puede elegir que fuera como la primera. Todos los demás, uno tiene que ser tanto positivo como negativo o no ser ortogonales $\sin x$-la integral del producto será positivo. Ya que todos ellos tienen que ir a través de cero al menos una vez, tienen más de oscilación de la primera. El teorema que establece que cada uno de los sucesivos tiene raíces entre las raíces de todos los anteriores hace que un orden natural en las soluciones. A continuación, más raíces significa más de oscilación.

No creo que esto es muy diferente de la argumentación que hacer, aunque tiene un par de detalles más, después de ver que $\sin x$ $-\sin x$ no son ortogonales.

Answer 2

Aquí hay algunas heurísticas. Supongamos que el dominio está acotada. Establecer el orden de las funciones propias de alguna manera. Tiene infinidad de funciones propias, y las funciones propias de un infinito dimensional función de espacio, decir $L^2$. Ahora elige un (genérico) la función de $L^2$. Esta función puede tener una muy complicado comportamiento. Por supuesto, la mayor parte de la información estará en la escala muy bien los detalles. Con el fin de representar a los detalles, no debe existir funciones propias con similar nivel de detalles. No hay límite en la finura de los detalles que una función puede tener, lo que significa que habrá toneladas de funciones propias con creciente nivel de detalles. Puesto que usted tiene que el número de las funciones propias por números naturales, son altas las posibilidades de que las funciones propias con los más finos detalles de obtener números más altos.