Anidado radicales y la n-ésima raíces

Question

Hay muchos hermosos infinito de ecuaciones con radicales, algunos relativamente sencillo, algunos mucho más sutil: $$ x = \sqrt{ x \sqrt{ x \sqrt{ x \sqrt{ \cdots } } } } $$ $$ \sqrt{2} = \sqrt{ 2/2 + \sqrt{ 2/2^2 + \sqrt{ 2/2^4 + + \sqrt{ 2/2^8 + \sqrt{ \cdots}}}}} $$ $$ 3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{ 1 + 4\sqrt{ \cdots }}}} $$

Pero he visto en mucho menos análoga ecuaciones para $n$-raíces. Aquí hay uno: $$ 2 = \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{\cdots}}}} $$

Mi pregunta es:

Q. Hay realmente "más" hermoso infinito de ecuaciones con radicales, o es sólo nuestra gravitación natural hacia el más simple de raíz cuadrada ecuaciones que conduce a las colecciones destacando los radicales?

Soy consciente de que esta pregunta es vaga, pero tal vez algunos, sin embargo, tienen puntos de vista.

Answer 1

Para cualquier entero $n \ge 2$ tenemos:

$n = \sqrt{(n^2-n)+\sqrt{(n^2-n)+\sqrt{(n^2-n)+\sqrt{(n^2-n)+\sqrt{(n^2-n)+\cdots}}}}}$.

Esto se puede generalizar para $m$-th raíces:

$n = \sqrt[m]{(n^m-n)+\sqrt[m]{(n^m-n)+\sqrt[m]{(n^m-n)+\sqrt[m]{(n^m-n)+\sqrt[m]{(n^m-n)+\cdots}}}}}$.

Esto genera una familia infinita de las ecuaciones con radicales. Por supuesto, esto no cubre todos los anidada radical de la ecuación por ahí. Ahora, ¿cuántas ecuaciones en este infinito familia son hermosas?

Answer 2

He aquí un anidada radical para el 4 de raíces que no es tan conocido. Dada la tetranacci números (un análogo de los números de fibonacci). Deje $y$ ser el tetranacci constante, o el real positivo de la raíz de,

$$y^4-y^3-y^2-y-1=0$$

A continuación,

$$y(3-y) = \sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-\dots}}}} = 2.06719\dots$$

La familia puede encontrarse en este MSE post.