Si $f(u(x), v(y))=f(x, y)$ ¿podemos concluir que $u(x)=x$ o $v(y)=y$ ?

Question

Supongamos que $k$ es un campo algebraicamente cerrado, y $f\in k[x, y]$ es un polinomio irreducible en dos variables. Además, supongamos que $f(u(x), v(y))=f(x, y)$ por cada $x, y\in k$ , donde $u\in k[x]$ , $v\in k[y]$ son polinomios de una variable. ¿Podemos concluir que $u(x)=x$ o $v(y)=y$ ?

Creo que la respuesta es "sí". Estoy pensando que tal vez podamos utilizar algún tipo de argumento de grado, pero podría haber algunas cancelaciones si tratamos de ampliar $f(u(x), v(y))$ .

Esta pregunta me surgió de forma natural cuando estaba leyendo la sección 1.4 "Mapas racionales" en Geometría algebraica básica por Shafarevich. Pero, por lo que veo, no está directamente relacionado con ninguno de los resultados presentados allí.

Answer 1

La respuesta es no. Toma $f(x,y)=x^2-1+y^2$ y $u(x)=-x,$ $\nu(y)=-y.$ Si quieres algunos ejemplos más "no triviales", puedes considerar las simetrías con respecto a $x\to 1-x$ o algo así (en lugar de la obvia $x\to -x.$ )

Answer 2

Puedes tener $f(x,y)=x+y$ y luego $u$ puede desplazarse por una constante, con $v$ cambiando en reversa.