Tengo un problema con la divergencia de una Suma, no sé cómo los criterios de uso cuando me tiene una función trigonométrica porque, no es monotono, y yo no puedo probar que esta serie divergen con los métodos habituales de $$ \sum {\frac{{\cos \left( {\log \left( {\log n} \right)} \right)}} {{\log n}}} $$ sus diferentes
Respuesta
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Debido a que el denominador varía muy lentamente y el numerador aún más lentamente, se puede mostrar que la secuencia de sumas parciales $S_k$ no puede ser de Cauchy mediante la adición de un adecuado estiramiento de los términos. Por ejemplo, con $k=\lceil\exp(\exp(2\pi m))\rceil$$l=\lfloor \exp(2\exp(2\pi m))\rfloor$, tenemos
$$S_l-S_k=\sum_{j=k+1}^l\frac{\cos(\log(\log j))}{\log j}\gt\sum_{j=k+1}^l\frac{\cos(2\pi m+\log2)}{\log l}\gt(l-k)\frac{\cos\log2}{\log l}>\cos\log 2\;,$$
donde la última desigualdad se cumple para suficientemente grande $m$. Ya que la diferencia de las sumas parciales no vaya a cero, la serie diverge.
