¿Cuál es el modelo o relación en esta tabla?

Question

Aquí está la tabla:

$$\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1& 1\\ 3& 2& 3\\ 5& 3& 3& 5\\ 11 &8 &10 &8 &11\\ 21 &13 &14 &14 &13 &21\\ 43 &30 &37 &36 &37 &30 &43\\ 85 &55 &61 &55 &55 &61 &55 &85\\ 171 &116 &140 &140 &146 &140 &140 &116 &171 \end{array}$$

En este triángulo como el de la tabla, soy incapaz de encontrar la relación entre la columna. Dicen que para la 1ª columna, he encontrado la relación $A(n)= A(n-1)+2A(n-2)$.

Para la 2ª columna, tengo la relación $A(n)= A(n-1)+2A(n-2) + x$ [ donde $x$ $-1$ incluso fila número y $+1$ para impar].

Pero para el resto de las columnas, no he encontrado las relaciones todavía. Alguien me puede ayudar a encontrar una ecuación generalizada para generar la tabla?

Answer 1

Actualizado: deje $A(n,k)$ ser el número de la tabla en la fila $n$ y la columna $k$ donde$0\le n$$0\le k\le n$.

$$A(n,k)=A(n,n-k)$$ $$A(n,0)=A(n,n)=0$$

La tabla quedaría así: (parte superior izquierda de la fila $0$ y la columna $0$)

$$\begin{array}{c} 0\\ 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 3& 2& 3& 0\\ 0& 5& 3& 3& 5& 0\\ 0& 11 &8 &10 &8 &11& 0\\ 0& 21 &13 &14 &14 &13 &21& 0\\ 0& 43 &30 &37 &36 &37 &30 &43& 0\\ 0& 85 &55 &61 &55 &55 &61 &55 &85& 0\\ 0& 171 &116 &140 &140 &146 &140 &140 &116 &171 & 0 \end{array}$$

Entonces, tenemos: $$A(n+1,k)+A(n,k)+A(n,k-1)=2^{n-1}$$

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Ejemplo $$A(8,3)+A(7,3)+A(7,2)=37+14+13=64=2^6$$