La ampliación de una de Chebyshev-polinomio determinante de la identidad

Question

El siguiente $n\times n$ determinante de la identidad aparece como eq. 19 en Mathworld la entrada para los polinomios de Chebyshev de la segunda clase:

$$U_n(x)=\det{A_n(x)}\equiv \begin{vmatrix}2 x& 1 & 0 &\cdots &0\\ 1 & 2x &1 &\cdots &0 \\ 0 & 1 & 2x &\cdots &0\\0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x\end{vmatrix}$$

como puede ser demostrado (por ejemplo) mediante la expansión de los por menores de edad para obtener la relación de recurrencia para $U_n(x)$.

Mientras trabajaba en un espectral problema para mi investigación, me di cuenta de que este resultado puede ser extendido. Supongamos que consideramos que el determinante de a $A_n(x)+t\,\mathbf{e}_k \mathbf{e}^T_k$ donde $t$ es algún parámetro libre y $k$ es cierto índice. A continuación, el $k$-ésimo vector columna se puede expresar como $$\mathbf{e}_{k-1}+(2x+t)\mathbf{e}_k+\mathbf{e}_{k+1}= (\mathbf{e}_{k-1}+2x\,\mathbf{e}_k+\mathbf{e}_{k+1})+t\,\mathbf{e}_k.$$ Since the determinant is an linear function of its $k$-th column vector, we can expand in two terms: The first is just $\det{A_n(x)}=U_n(x)$, and for the second we can expand by minors to get a block diagonal matrix $\text{diag}(A_{k-1}(x),A_{n-k}(x))$ with determinant simplying to $U_{k-1}(x)U_{n-k}$. Putting these together gives the result $$\det{A_n(x)+t\,\mathbf{e}_k\mathbf{e}^T_k}=U_n(x)+t \, U_{k-1}(x)U_{n-k}(x).$$

Uno puede igualmente dar a conocer un segundo parámetro en una fila diferente de vectores y calcular el resultado determinante. Por lo tanto, no debe ser un bien definido respuesta a la siguiente pregunta:

Dado un conjunto de $n$ parámetros de $\{t_k\}$, expresar $\det{(A_n(x)+\text{diag}(\{t_k\}))}$ en términos de $\{U_n(x)\}.$

Answer 1

Para tridiagonal las matrices que se pueden derivar de estos por inducción:

$$U_n(x,\{t_1, \dots, t_n\})=\det{A_n(x,\{t_1, \dots, t_n\})}\equiv \begin{vmatrix}2 x+t_1& 1 & 0 &\cdots &0\\ 1 & 2x + t_2 &1 &\cdots &0 \\ 0 & 1 & 2x + t_3 &\cdots &0\\0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x+t_n\end{vmatrix}$$

Using row operations from linear algebra we can expand along the first row to get a linear expansion in $t_1$.

$$ U_n(x,\{t_1, \dots, t_n\}) = U_n(x,\{0,t_2, \dots, t_n\}) + t_1 U_{n-1}(x,\{t_2, \dots, t_n\})$$

The term of the form $t_1 f(x)$ can be found by setting the remaining variables to $0$. It is:

$$ t_1 U_{n-1}(x)$$

Since the determinant is multilinear, it is possible to take two partial derivatives and find the $t_1 t_2$ term.

$$ t_1 t_2\left|\begin{array}{cc|ccc} 1& 0 & 0 &\cdots &0\\ 0& 1 & 0 &\cdots &0 \\ \hline 0& 0 & 2x + t_3 &\cdots &0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x+t_n\end{array}\right| = t_1 t_2 U_{n-1}(x,\{t_2, \dots, t_n\})$$

I realized after a long time, these new determinants are not symmetric in $t_1, \dots, t_n$. These methods still hold and you can recover the individual terms as products of Chebyshev polynomials. For example , for $a < b < c$ the $t_a t_b t_c$ term is:

$$ t_a t_b t_c U_{a-1}(x) U_{b-a-1}(x)U_{c-b-1}(x)U_{n-c}(x) $$

Notice the total degree (including the $t$ factors) are $n$. My mnemonic is simply to draw a row of $$ n de las letras y las

<---------23---------->
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxx.xxxxxx.xxxx.xxxxxx
xxxxAxxxxxxBxxxxCxxxxxx
U4 U6 U4 U6