¿Cómo demostrar lo siguiente sobre un grupo G?

Question

¿Cómo se demuestra eso?

para todos $a\in G$ , donde $G$ es un grupo (no necesariamente abeliano) $a^{|G|} = 1_G$ .

Answer 1

En primer lugar, se limita a grupos finitos (de lo contrario, la afirmación no tiene sentido).

Entonces, se aplica el Teorema de Lagrange al subgrupo $\langle a \rangle$ para concluir que el orden de $a$ divide $|G|$ .

Answer 2

Este es un hecho estándar, que creo que se demuestra en todos los libros de álgebra abstracta. Aquí está la prueba, dada en el libro de Herstein. Ver Corolario 2 .

Corolario 1: Si $G$ es un grupo finito, y $a \in G$ entonces $o(a) \mid o(G)$ .

Prueba. Consideremos el subgrupo cíclico generado por $a$ , que consiste en $a,a^{2},a^{3},\cdots,$ . Desde $a^{o(a)}=e$ Por lo tanto, este subgrupo tiene como máximo $o(a)$ elementos. Si tiene menos elementos, entonces $a^{i}=a^{j}$ para algunos números enteros $0 \leq i < j < o(a)$ . Entonces $a^{j-i}=e$ Sin embargo $0< j-i < o(a)$ lo que contradice el significado de $o(a)$ . Así, el subgrupo cíclico generado por $a$ tiene $o(a)$ elementos, y por lo tanto por el teorema de Lagrange $o(a) \mid o(G)$ .

Corolario 2: Si $G$ es un grupo finito y $a \in G$ entonces $a^{o(G)}=e$ .

Prueba. Por Corolario 1 tenemos $o(a) \mid o(G)$ lo que implica $o(G)=k \cdot o(a)$ Por lo tanto $a^{o(G)}=a^{k \cdot o(a)} = (a^{o(a)})^{k} = e^{k}=e$ .