¿Qué es cofinality de $(\omega^\omega,\le)$?

Question

Consideremos el conjunto a $\omega^\omega$ de todos los mapas $\omega\to\omega$ con el pointwise pedido. Por cofinality de $(\omega^\omega,\le)$ me refiero a los más pequeños de la cardinalidad de la subfamilia $\mathcal B$ tal que para cada una de las $f\in\omega^\omega$ no es un porcentaje ($g\in\mathcal B$tal que $f\le g$, es decir, $\mathcal B$ es cofinal.

Entiendo que cada cofinal familia en $(\omega^\omega,\le)$ es dominante. (Dominantes en la familia es básicamente la misma cosa como cofinal en $(\omega^\omega,\le^*)$, tal vez con la ligera distinción de la que estamos hablando de clases de equivalencia, cuando se trata de con $\le^*$.) No creo que el frente implicación es verdadera (es decir, dominando $\Rightarrow$ cofinal).

Se sabe si cofinality de $(\omega^\omega,\le)$$\mathfrak d$? (Aquí se $\mathfrak d$ denota la dominando número.)

Answer 1

Es cierto que la cofinality de $(\omega^\omega,\leq)$$\mathfrak{d}$. Mientras que un dominante de la familia $\mathcal{D}$ podría no ser cofinal en este sentido, podemos obtener un cofinal familia mediante la adopción de todas finito modificaciones de las funciones en $\mathcal{D}$, la expansión de todas las clases de equivalencia de estas funciones, como se fueron. La nueva familia $$\mathcal{D}'=\{f;\exists g\in\mathcal{D}\colon g=f\text{ almost everywhere}\}$$ es cofinal familia en $(\omega^\omega,\leq)$ y claramente tiene la misma cardinalidad como $\mathcal{D}$.