Fuertes y débiles de las leyes de los grandes números: ¿por Qué dos?

Question

Las siguientes preguntas son totalmente basada en el correspondiente artículo de la Wikipedia.

La hipótesis de las dos leyes son las mismas, y el fuerte de la ley más general de la reivindicación de la de la ley débiles. La pregunta entonces es: ¿cuál es la razón para mantenerlos separados? ¿Por qué siempre presentados como dos distintos resultados? Si asumimos que el mismo, ¿por qué deseamos para frenar lo que tenemos? Probablemente, yo no me de cuenta realmente de cómo las dos leyes están siendo utilizados.

También, existe la siguiente declaración en virtud de la ley Débiles:

La convergencia en probabilidad, es llamada también la debilidad de la convergencia de variables aleatorias.

No es todo acerca de la convergencia en distribución?

Gracias.

Saludos, Ivan

Answer 1

Débil leyes sobre la convergencia en probabilidad y no de convergencia en distribución. La convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución, pero no al revés.

Una de las ventajas de la ley débiles es que no hay necesidad de ser una probabilidad de espacio en el que toda la secuencia de variables aleatorias es definir de manera simultánea.

Así, supongamos que usted desea para la formalización de la declaración "cuando tirando de un imparcial de la moneda alrededor de la mitad de los lanzamientos serán cabezas". La ley débiles de la versión que se puede probar en el contexto de la educación primaria discretas de probabilidad considerando una secuencia de probabilidad espacio en el que un punto de la muestra en el $n$-th el espacio consiste en el resultado de la primera $n$ lanzamientos. Entonces, por la desigualdad de Chebyshev se aplica en esta $n$-th espacio $$P(|S_n/n-1/2|>\epsilon)\le 1/(4n\epsilon^2)$$ y primaria límite da la ley débiles.

En el mismo escenario el fuerte de la ley nos obligaría a considerar secuencias infinitas de la arroja como resultados y que no es posible sin el uso de las herramientas de la teoría de la medida.

Y a veces no es sólo técnica conveniencia, pero la naturaleza de la pregunta en sí misma que nos obliga a utilizar los diferentes espacios de probabilidad para diferentes valores de $n$. vea el Ejemplo 6.3 en Billingsley de la Probabilidad y Medida.