Demuestra que tres puntos son suficientes para dibujar/definir un solo círculo, ¿cómo se haría?
El conjunto de puntos que equidistan de dos puntos $A,B$ es una línea recta, ¿verdad? Precisamente, la línea que pasa por el punto medio del segmento $AB$ y es perpendicular a ella. Llamemos a esta línea $l(A,B)$ .
Dados 3 puntos no colineales $A,B,C$ las líneas $l(A,B)$ y $l(A,C)$ no son paralelas, porque las líneas $AB$ , $AC$ no son paralelas, y por lo tanto se encuentran exactamente en un punto. Este punto es equidistante de $A,B,C$ y, por lo tanto, es el sólo ese punto. Es el centro del círculo único que pasa por estos tres puntos.
Obsérvese que tres puntos que son colineales siguen definiendo una circunferencia en un sentido adecuadamente generalizado (la línea que los atraviesa) de radio infinito.
Y si permitimos círculos generalizados, también podemos utilizar la maquinaria de las transformaciones de Möbius: Tomar los tres puntos para $0, 1, \infty$ (por 3-transitividad), y entonces está claro que hay exactamente una circunferencia generalizada que pasa por esos tres puntos. Pero el argumento de Andrés es más fácil de entender geométricamente.
"las líneas $l(A,B)$ y $l(A,C)$ no son paralelas, porque las líneas $AB$ , $AC$ no son paralelos" ... suponiendo la Quinta de Euclides, por supuesto. :)
Una ampliación de la otra respuesta.
De forma más analítica (o explícita), dejemos que $a$ , $b$ , $c$ ser tres puntos. Queremos demostrar que sólo hay un punto equidistante a los tres.
Dejemos que $a = (a_1,a_2)$ , $b = (b_1,b_2)$ , $c = (c_1,c_2)$ . Puntos $x = (x_1,x_2)$ equidistante a los tres debe satisfacer,
$$ (x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2=(x_1-b_1)^2+(x_2-b_2)^2=(x_1-c_1)^2+(x_2-c_2)^2$$
Que es el sistema de ecuaciones
$$ (x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2=(x_1-b_1)^2+(x_2-b_2)^2$$ $$(x_1-b_1)^2+(x_2-b_2)^2=(x_1-c_1)^2+(x_2-c_2)^2$$
La solución de cada ecuación es una recta. En concreto, la solución de la primera ecuación es la recta
$$ (x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2=(x_1-b_1)^2+(x_2-b_2)^2$$
$$ -2a_1x_1+a_1^2 -2a_2x_2+a_2^2=-2b_1x_1+b_1^2 -2b_2x_2+b_2^2$$
$$ x_1 = \frac{(-2b_2+2a_2)x_2+(b_2^2-a_2^2)}{-2a_1+2a_2}$$
Dado que dos líneas se cruzan a lo sumo en un lugar, la solución del sistema es un único punto que define el centro del círculo, o no hay solución (el caso de $a$ , $b$ , $c$ colineal). Si incluimos el punto en el infinito como menciona Qiaochu, entonces dos líneas siempre se cruzan exactamente en un punto (con líneas paralelas que se cruzan en el infinito), y el círculo pasará por $a$ , $b$ , $c$ con un radio infinito.
En caso contrario, el radio será $\sqrt{(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2}$ y hemos definido un círculo.
He aquí una prueba sencilla:
Sean A, B y C los tres puntos. Dibuja un triángulo entre estos tres puntos. Si encuentras el circuncentro de este triángulo, obtienes el centro de la circunferencia que contiene los tres puntos. Como sólo hay un circuncentro para cada triángulo, hay una circunferencia definida para cada tres puntos no colineales.
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