He estado estudiando un curso de topología algebraica que sigue Hatcher libro de texto sobre el tema. Tengo algunas consultas de cómo ciertas cosas están definidos.
La primera parte del texto se define el cochain grupos $S_n (X)$ a ser el libre abelian grupos generados por singular n simplices en $X$. A continuación, el cochain grupos se $S^n (X;G):=Hom(S_n (X),G)$.
A continuación, en el capítulo 3.2 consideramos cohomology con coeficientes en un anillo conmutativo $R$. Así que ahora parece que se nos han $S^n (X;R):=Hom(S_n (X),R)$.
Con el fin de que esta se encuentra bien definido, creo que debemos tratar a $R$ como un grupo al considerar estos homomorphisms. Así que tendríamos que ver $R$ como un grupo de bajo es la suma o la multiplicación y ya que no necesariamente tiene $1 \in R$ debemos elegir la adición de este. Nada de esto se discute en Hatcher y es glosado en cada texto que puede encontrar.
Las cosas, a continuación, obtener más complicado cuando se habla de la tapa del producto. En esta etapa se muestra en la Hatcher (página 249 "conexión con la copa del producto") que para$\psi \in S^l(X;R), \phi \in S^k(X;R)$$\alpha \in S_{k+l}(X;R)$: \begin{equation} \psi (\alpha \cap \phi) = (\phi \cup \psi) (\alpha) \end{equation} Pero la prueba de esto requiere que $\psi (r \sigma) = r \psi(\sigma)$ es decir $\psi$ $R$- homomorphism. Esto sugiere que las definiciones que estamos trabajando son en realidad: $S_n (X) = S_n (X;R)$ (coeficientes de $R$) y $S^n (X;R):=Hom_R(S_n (X;R),R)$.
Llegamos así a mis preguntas:
- ¿Cómo son los grupos de cadena que realmente significaba ser definido cuando tenemos los coeficientes en un anillo de $R$?
- Si tenemos varias definiciones flotando sobre ¿cómo podemos saber que uno está siendo utilizado.
