La prueba de $(x+y)^2<\operatorname{rad}\bigl[xy(x+y)(x^2+xy+y^2)\bigr]$ para coprime enteros $x,y$

Question

Una antigua declaración, y una vez leí una primaria de prueba, pero no recuerdo. Quien me puede ayudar? El origen de la desigualdad es un habitual de la revista para profesores de secundaria emitido por P. Noordhoff desde 1914 (Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde).

Me examinó diversos métodos para demostrar la anterior afirmación. Por ejemplo, usando el hecho de que los números enteros $n$ cuales son de la forma $x^2+xy+y^2$ para los dos primos relativos enteros $x,y$, son precisamente los enteros positivos que ocurren como divisores de $m^2+m+1$ para algunos entero $m$.

Otro enfoque que he intentado es considerar el general de las soluciones de $x,y$ $n=x^2+xy+y^2.$ Un entero $n$ puede ser el único escrito como $n=sz^2$ $s$ squarefree. Vamos

$$\begin{align*} s=f^2+fg+g^2,&\quad z=m^2+mn+n^2;\\ x=(f+g)n^2+2gmn-fm^2,&\quad y=-gn^2+2fnm+(f+g)m^2\,. \end{align*}$$

Luego tenemos a $x^2+xy+y^2=(f^2 + fg + g^2)(m^2 + mn + n^2)^2$. El radical de $xy(x+y)(x^2+xy+y^2)$ tiene la forma $xy(x+y)sz$, lo que conduce a la (muy interesante) de identidad

$$\bigl(xy(x+y)\bigr)sz\bigl(fg(f+g)\bigr)=sz\prod_{i=1}^3{(u_i^2-sn^2)}\,,$$

donde $u_1=gn-fm$, $u_2=(f+g)m+fn$, y $u_3=gm+(f+g)n$.

También he probado a utilizar la siguiente sumatoria de identidad: vamos a $e>0$ ser un número entero y $w=(-1)^e$. Elija $r=\frac{1}{3}(2^e-w)$ que es un entero. Para $f,g,m,n$ definir

$$x=\frac14\sum_{i=0}^r\sum_{j=0}^2\binom{2^e}{3i+j}n^jm^{-j}(-1)^en^{3i}m^{2^e-3i}\,\times\\ \bigr[(f+(f + 2g)w)j^2+(-f + 2g +(-5f - 4g)w)j -2f - 2g +(2f - 2 g)w\bigl]\,,$$

$$ $ y=\frac14\sum_{i=0}^r\sum_{j=0}^2\binom{2^e}{3i+j}n^jm^{-j}(-1)^en^{3i}m^{2^e-3i}\,\times\\ \bigr[(-f-g-(-f+g)w)j^2+(3f+g -(-f - 5g)w)j + 2g(4f+2g)w\bigl]\,.$$

A continuación, la igualdad de $x^2+xy+y^2=(f^2+fg+g^2)(m^2+mn+n^2)^{2^e}$ sostiene, que nos permiten encontrar todas las soluciones con $s_i$ plaza libre de la forma $s_0\prod_k{s_k^{2k}}$.

N. B.: por Favor, tenga en cuenta que la transformación de $x\mapsto x+y,y\mapsto-y$ se obtiene el mismo valor de $x^2+xy+y^2$.

Por qué de interés? Un corolario de $(x+y)^2<\operatorname{rad}\bigl[xy(x+y)(x^2+xy+y^2)\bigr]$ es que para $ABC$ triples con $A+B=C$$\operatorname{rad}(ABC)<C$,$A^2+AB+B^2=C^2-AB$. Por lo tanto,

$$\operatorname{rad}(C^2-AB)<\leq C^2-AB\operatorname{rad}(ABC)\operatorname{rad}(C^2-AB)-AB<C\operatorname{rad}(C^2-AB)-AB\,,$$

lo que implica $AB<(C-1)\operatorname{rad}(C^2-AB)\,.$ también podemos concluir que el $C=A+B<\operatorname{rad}(C^2-AB)$, y por tanto, para valores pequeños de a $\operatorname{rad}(C^2-AB)=3,7,13,19,21\dots$ (OEIS secuencia A034017) hay sólo un número limitado de ABC triples.

Answer 1

Suponiendo que la conjetura ABC, para cada una de las $\theta < 3$ existen sólo un número finito de soluciones de $$ (|x|+|y|)^\theta < \text{rad}\left( xy(x+y)(x^2+xy+y^2) \right) $$ en relativamente primer enteros $x,y$. Puede ser que $\theta = 2$ es lo suficientemente pequeño que no hay soluciones en todos, aunque es concebible que un contraejemplo existe (vea a continuación algunos ejemplos de $\theta < 2.5$). Dudo que uno puede demostrar un resultado por medios elementales para cualquier $\theta > 0$; parece ser comparable en dificultad con la conjetura ABC sí mismo.

La reducción de ABC puede obtenerse a partir del polinomio de identidad $$ \left( (x-y)(2x+y)(x+2y) \right)^2 + 27 (xy(x+y))^2 = 4 (x^2+xy+y^2)^3. $$ Si $\gcd(x,y) = 1$$\gcd(x^2+xy+y^2, xy(x+y)) = 1$, por lo $\gcd(4(x^2+xy+y^2)^3, 27(xy(x+y))^2)$ es limitada (debe ser un factor de $4 \cdot 27$). Dividir a través de por el factor común para obtener una identidad $A+B=C$ en coprime enteros con $C \gg H^6$ $\text{rad}(A)$ no más de $$ \text{rad}\left( \bigl( (x-y)(2x+y)(x+2y) \bigr)^2 \right) = \text{rad}\bigl( (x-y)(2x+y)(x+2y) \bigr) \ll H^3, $$ donde $H = |x| + |y|$. Así que la conjetura ABC implica $\text{rad}(B) \, \text{rad}(C) \gg_\epsilon H^{6(1-\epsilon) - 3}$ para todos los $\epsilon>0$. Desde $\text{rad}(B)$ $\text{rad}(C)$ están dentro de delimitada factores de los radicales de $xy(x+y)$$x^2+xy+y^2$, podemos deducir que el radical de $xy(x+y)(x^2+xy+y^2)$ $\gg_\theta H^\theta$ para cada una de las $\theta<3$, como se reivindica.

En general, supongamos $P(x,y)$ es un polinomio homogéneo de grado $d \geq 3$ sin necesidad de repetir los factores. Entonces uno espera que $\text{rad}(P(x,y)) \gg_\theta H^\theta$ todos los $\theta < d-2$. La conjetura ABC es el caso especial $P(x,y) = xy(x+y)$ ($d=3$). El caso general se puede deducir de esto a través de un adecuado polinomio de identidad, tal como el utilizado anteriormente para el $d=5$ caso $P(x,y) = xy(x+y)(x^2+xy+y^2)$; estas identidades son proporcionados por Belyi del teorema, como en mi papel

Noam D. Elkies: ABC implica Mordell, Internacional de Matemáticas. La investigación Avisos de 1991, #7, 99-109 [enlazado con el Duque de Matemáticas. J. 64 (1991)].

P. S. he Aquí algunos ejemplos más con pequeño $\theta$ que quedan fuera de la gama de Voluntad Jagy's de búsqueda. Ninguno de estos $\theta$ es más pequeño que su récord de $2.261$$(x,y) = 3^7, 5^4$. No he probado una búsqueda exhaustiva, solo cosas como $x,y$ con pequeñas radicales o para los que se $x^2+xy+y^2$ es divisible por el cubo o la mayor potencia de un primo.

 2.28587:  77824, 17
 2.30953:  15125, 496
 2.37769:  26973, 169
 2.37809:  1092663, 64
 2.39904:  5375, 2401
 2.40001:  6889472, 74925

con un par de docenas de otros ejemplos de $\theta < 2.5$, incluyendo $\theta \approx 2.48742$ $(x,y) = (18428663, 5371345)$ y $\theta \approx 2.48838$$(x,y) = (250000, 1)$.

Answer 2

Ciertamente, parece plausible, ahora que he tenido oportunidad de probarlo. Otro de $x=1,y=0$ el lado derecho es generalmente mucho más grande que el lado izquierdo. Decidí tomar simplemente la relación de los logaritmos, por un largo tiempo $x=18,y=1$ es el mejor, y, a continuación, $x=3^7, y=5^4$ hace un poco mejor, en gran parte debido a $6540469 = 229 \cdot 13^4.$ Aquí son la mejor (la más pequeña) ratios de registro que he encontrado hasta ahora. Muy por encima de 2.0 en todos los casos.

log ratio     x     y   x+y    x^2+xy+y^2  RADICAL(stuff)
2.26089      2187  625  2812     6540469   62784930 = 2 3 5 13 19 37 229
2.2694        18    1    19         343   798 = 2 3 7 19
2.27367      3267   10  3277    10706059   98408310 = 2 3 5 7 11 13 29 113
2.27453      3277  -10  3267    10706059   98408310 = 2 3 5 7 11 13 29 113
2.31185        19   -1    18         343   798 = 2 3 7 19
2.33479      2812 -625  2187     6540469   62784930 = 2 3 5 13 19 37 229
2.35811       324    1   325      105301   838110 = 2 3 5 7 13 307
2.35937       325   -1   324      105301   838110 = 2 3 5 7 13 307
2.39648      2917   27  2944     8588377   205701006 = 2 3 7 23 73 2917
2.39925      2944  -27  2917     8588377   205701006 = 2 3 7 23 73 2917
2.4078       123    2   125       15379   111930 = 2 3 5 7 13 41
2.41308      2891  565  3456    10310521   345817290 = 2 3 5 7 13 19 59 113
2.41587       125   -2   123       15379   111930 = 2 3 5 7 13 41
2.42585       243   13   256       62377   695058 = 2 3 7 13 19 67
2.44886       256  -13   243       62377   695058 = 2 3 7 13 19 67
2.45693      4624    1  4625    21386001   1011413130 = 2 3 5 7 13 17 19 31 37
2.45699      4625   -1  4624    21386001   1011413130 = 2 3 5 7 13 17 19 31 37
2.46713      3456 -565  2891    10310521   345817290 = 2 3 5 7 13 19 59 113
2.4783      3125   34  3159     9873031   470922270 = 2 3 5 7 13 17 73 139
2.48164      3159  -34  3125     9873031   470922270 = 2 3 5 7 13 17 73 139
2.48222      4293 2500  6793    35412349   3251061870 = 2 3 5 7 43 53 6793
2.48649       361  179   540      226981   6223830 = 2 3 5 19 61 179
2.49388       983   41  1024     1008273   32161794 = 2 3 7 19 41 983
2.50061       729  112   841      625633   20595162 = 2 3 7 29 37 457
2.50347       323   37   360      117649   2509710 = 2 3 5 7 17 19 37
2.50867      1024  -41   983     1008273   32161794 = 2 3 7 19 41 983
2.51652       379  128   507      208537   6414954 = 2 3 7 13 31 379
2.55046       360  -37   323      117649   2509710 = 2 3 5 7 17 19 37
2.55285      2084  125  2209     4619181   344532090 = 2 3 5 7 47 67 521
2.554      3843  125  3968    15264649   1551508770 = 2 3 5 7 31 61 3907
2.55482       841 -112   729      625633   20595162 = 2 3 7 29 37 457
2.5639      3968 -125  3843    15264649   1551508770 = 2 3 5 7 31 61 3907
2.56399       121    4   125       15141   237930 = 2 3 5 7 11 103
2.57008       800   33   833      667489   32083590 = 2 3 5 7 11 17 19 43
2.57142         5    3     8          49   210 = 2 3 5 7
2.57231      2209 -125  2084     4619181   344532090 = 2 3 5 7 47 67 521
2.57277        39   16    55        2401   30030 = 2 3 5 7 11 13
2.57615       729  640  1369     1407601   120187470 = 2 3 5 13 37 8329
2.57754       175   32   207       37249   932190 = 2 3 5 7 23 193
2.58137       125   -4   121       15141   237930 = 2 3 5 7 11 103
2.58562       833  -33   800      667489   32083590 = 2 3 5 7 11 17 19 43
2.58717      4563 4312  8875    59089969   16389683310 = 2 3 5 7 11 13 71 7687
2.5937       459  245   704      383161   24308130 = 2 3 5 7 11 17 619
2.59497       513   16   529      271633   11675766 = 2 3 19 23 61 73
2.60005      4880   81  4961    24216241   4061448930 = 2 3 5 7 11 19 37 41 61
2.60042       161   15   176       28561   690690 = 2 3 5 7 11 13 23
2.60047       640  243   883      624169   45801210 = 2 3 5 7 13 19 883
2.60509      4961  -81  4880    24216241   4061448930 = 2 3 5 7 11 19 37 41 61
2.60774       529  -16   513      271633   11675766 = 2 3 19 23 61 73
2.60842      2816 2325  5141    19882681   4785911130 = 2 3 5 7 11 13 31 53 97
2.61086      2080   53  2133     4439449   491511930 = 2 3 5 7 13 43 53 79
2.61418       225   64   289       69121   2711670 = 2 3 5 13 17 409
2.61498       499    1   500      249501   11422110 = 2 3 5 7 109 499
2.61582       500   -1   499      249501   11422110 = 2 3 5 7 109 499
2.61798       208   17   225       47089   1438710 = 2 3 5 7 13 17 31
2.61946      2133  -53  2080     4439449   491511930 = 2 3 5 7 13 43 53 79
2.62002      4875  328  5203    25472209   5453117670 = 2 3 5 7 11 13 41 43 103
2.62174       800  531  1331     1346761   155156430 = 2 3 5 11 13 59 613
2.62297        81    2    83        6727   108066 = 2 3 7 31 83
2.62706      3055 1089  4144    13845841   3185552370 = 2 3 5 7 11 13 37 47 61
2.63682      2048  227  2275     4710729   710807370 = 2 3 5 7 13 31 37 227
2.63753        83   -2    81        6727   108066 = 2 3 7 31 83
log ratio     x     y   x+y    x^2+xy+y^2  RADICAL(stuff)