Me preguntaba si alguien sería tan amable de proporcionar una explicación muy simple de lim sup y lim inf de s secuencia de conjuntos. Para una secuencia de subconjuntos de $A_n$ de $X$, $\limsup A_n= \bigcap_{N=1}^\infty \left( \bigcup_{n\ge N} A_n \right)$ y $\liminf A_n = \bigcup_{N=1}^\infty \left(\bigcap_{n \ge N} A_n\right)$. Pero, Oh, estoy teniendo un tiempo difícil imaginar lo que significa, que los sindicatos de los cruces e intersecciones de los sindicatos creo que tal vez causando el problema. He leído la versión en Wikipedia, pero eso no resolver esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
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Un miembro de $$ \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n\ge N} A_n $$ es miembro de al menos uno de los conjuntos $$ \bigcap_{n\ge N} A_n, $$ lo que significa que es un miembro de cualquiera de los $A_1\cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots$ o $A_2\cap A_3 \cap A_4 \cap \cdots$ o $A_3\cap A_4 \cap A_5 \cap \cdots$ o $A_4\cap A_5 \cap A_6 \cap \cdots$ o $\ldots$ etc. Eso significa que es un miembro de todos, excepto un número finito de la $$.
Un miembro de $$ \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n\ge N} A_n $$ es miembro de todos los conjuntos $$ \bigcup_{n\ge N} A_n, $$ así que es un miembro de $A_1\copa A_2 \copa A_3 \cup \cdots$ y de $A_2\copa A_3 \copa A_4 \cup \cdots$ y de $A_3\copa A_4 \copa A_5 \cup \cdots$ y de $A_4\copa A_5 \copa A_6 \cup \cdots$ y $\ldots$ etc. Eso significa que no importa lo lejos la secuencia que ir, es un miembro de al menos uno de los conjuntos que vienen más tarde. Eso significa que es un miembro de una infinidad de ellos, pero también puede ser infinitamente muchos que no pertenecen.
flojdek
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12
Me acaba de llegar con este mnemónico de la historia:
No es una empresa con empleados y un día, un montón de $\mathcal$ de ellos despedido. Se convierten en mendigos y tienen que vivir en la calle. Un día, la iglesia local decide empezar a dar comida gratis para ellos cada semana. En el $n$th semana, $A_n$ son las personas que se presentan (esta es una secuencia de $\mathcal$-personas: $\forall n\ (A_n\subseteq \mathcal A)$. Sí, mendigos nunca mueren).
Algunas de las personas que, finalmente, conseguir un nuevo trabajo y no aparecer nunca en la iglesia de nuevo. Otros son demasiado orgullosos y tratar de no ser visto por todo el tiempo, pero que necesitan para comer, por lo que siempre regresan. Por último están las personas que tienen baja autoestima; se sienten inferiores, y en un punto, que no me importa y empezar a obtener su alimento a la iglesia cada semana.
$\lim \sup A_n$ toda la gente que no consigue otro trabajo.
$\lim \inf A_n$ son las personas que se semanales regulares.
Claramente $\lim \inf A_n \subseteq \lim \sup A_n$.
Una serie converge implica a todas las personas que no pueden conseguir otro trabajo, finalmente tragarse su orgullo y se convierten en asiduos demasiado: $\lim \inf A_n$ = $\lim \sup A_n$. A esto le llamamos el límite de $A_n$.
riza
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170
En términos de conjuntos, tenemos las siguientes interpretaciones:
- $\displaystyle x\in\bigcup_{i\in I} A_i$ significa que $x$ es en al menos uno de los $A_i$ conjuntos.
- $\displaystyle x\in\bigcap_{i\in I} A_i$ significa que $x$ es en todos los $A_i$ conjuntos.
Así que esto significa que
- $\bigcap_{N\ge1}\bigcup_{n\ge N} A_n$, todos estos elementos están en algún lugar de $A_N,A_{N+1},A_{N+2},\dots$, no importa cuán grande sea N, que es lógicamente equivalente a "estar en infinitamente muchos de los $A_i$ conjuntos."
- $\bigcup_{N\ge1}\bigcap_{n\ge N} A_n$ son todos los elementos en cada uno de $A_{N},A_{N+1},A_{N+2},\dots$ $N$. Esto es lógicamente equivalente para cada elemento que se está "en todo, pero un número finito de la $A_i$ conjuntos."
rck
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¿Está usted familiarizado con la definición de análisis real de $$ \limsup_{n\to\infty} x_n = \inf_{m\geq 0} \sup_{n\geq m} x_n ~? $$
La misma definición puede aplicarse a cualquier secuencia de elementos en un enrejado completo. Ahora se aplica al conjunto de energía $2 ^ X$ de algunos base conjunto $X$ con inclusión conjunto como orden parcial.
