La reproducción de Kernel Espacio de Hilbert es densa?

Question

Deje $E=C[0,1]$, el espacio de todos los verdaderos valores de funciones continuas en $[0,1]$, $\mathcal{E}$ ser su Borel $\sigma$-álgebra y $\mu$ una Gaussiana medida en $E$. Deje $E^*$ ser un espacio de todos lineal continua de las funciones de $E$. Definir el mapa de $R$ $E^*$ por $$x^* \mapsto R(x^*)=\int_E\langle x^*,x\rangle x\;\mu(dx)=\int_E x^*(x)\; x\;\mu(dx)$$ Y deje $H_\mu$ ser la finalización de $R(E^*)$ con respecto a una norma inducida por un producto interior definido como $\langle Rx^*,Ry^* \rangle=\int_Ex^*(x)y^*(y)\;\mu(dx)$.

$H_\mu$ soportes para la Reproducción de Kernel Espacio de Hilbert y es denso$^1$ $E$ si topológico de apoyo a$^2$ $\mu$ es todo el espacio $E$. Por qué?

Creo entender la construcción lo suficientemente bien, pero la declaración es algo inesperado.

$^1$ $i(H_\mu)$ para ser precisos, $i$ de inclusión de $H_\mu$$E$.

$^2$ topológico de apoyo es el menor conjunto cerrado $F$ tal que $\mu(F) = 1$.

Editar Esta es la página 84 de Modelos de tipos de Interés: un Infinito Dimensional Análisis Estocástico Perspectiva. Leer online en Springer: http://www.springerlink.com/content/978-3-540-27065-2#section=411613&page=84 (la frase está en la página 88)

Answer 1

Vamos a probar el contrapositivo.

En primer lugar, usted debe comprobar que $R : E^* \to H_\mu$ es el adjunto de a $i : H_\mu \to E$. Es decir, para $h \in H_\mu$ y $x^* \in E^*$, $\langle R x^*, h \rangle = x^*(i(h))$.

Ahora supongamos $i(H_\mu)$ no es denso en $E$. Luego por la de Hahn-Banach teorema existe un valor distinto de cero $x^* \in E^*$ $x^*(i(h)) = 0$ todos los $h \in H_\mu$. Tomando $h = R x^*$,$0 = x^*(i(Rx^*)) = \langle R x^*, R x^* \rangle$. Es decir, $\int_E |x^*(x)|^2 \mu(dx) = 0$, así como una función en $E$, $x^*$ se desvanece $\mu$ -.e. Por lo tanto el núcleo de $x^*$ es un buen subconjunto cerrado de $E$ con medida de 1, por lo $\mu$ no tiene soporte completo.