El capítulo 3 de la obra de Martin Gardner El nuevo universo ambidiestro comienza como se muestra a continuación. Como se puede ver (resaltado), en la página 13 escribe que no todos los objetos sólidos simétricos tienen un plano de simetría, y da un ejemplo. En la página siguiente, sin embargo, escribe a continuación que "para ser simétrico un sólido debe tener al menos un plano de simetría".
¿Puede alguien explicar esta aparente contradicción?
El texto está formulado de forma confusa, y de hecho, como observas, el segundo pasaje resaltado (que es falso) contradice al primero; sin embargo, hay un sólido contenido matemático que quiere transmitir. En primer lugar, hay que señalar que el texto utiliza "asimétrico" para referirse a " quiral "(objetos que se distinguen de sus imágenes especulares, incluso cuando pueden girar libremente), propiedad que no excluye la simetría rotacional (una hélice en 3D, o en el caso de 2D una letra Z o S o una esvástica, son ejemplos de figuras quirales pero rotacionalmente simétricas).
Una isometría lineal tiene un determinante $+1$ ou $-1$ y, por tanto, se denomina conservador de la orientación o inversor de la orientación. Su matriz (de valor real) también es diagonalizable sobre los números complejos, con todos sus valores propios en el círculo unitario, de los cuales los no reales vienen en pares complejos conjugados (estos corresponden a un componente de rotación en la isometría). Como el determinante es el producto de los valores propios, y el producto de un par de complejos conjugados sobre el círculo unitario es siempre $+1$ una isometría lineal es de orientación inversa si y sólo si tiene un valor propio $-1$ con la multiplicidad de impar. En el plano esto significa que tiene un valor propio $-1$ y un valor propio $+1$ En ella, por lo tanto, es una reflexión en una línea (a través del origen). Figuras planas delimitadas que son acirales (similares a su imagen especular) debe tienen una línea de simetría; simplemente no hay otras isometrías lineales que inviertan la orientación en la dimensión $2$ .
En dimensiones más altas todavía existe la posibilidad de un único valor propio $-1$ y todos los demás valores propios $+1$ y tales isometrías se llaman reflexiones, dando una simetría de espejo directo. (Algunos admiten confusamente más de un valor propio $-1$ para una reflexión, hablando por ejemplo de la reflexión en una línea en $3$ -espacio; sin embargo, requeriré reflexiones en $3$ -para fijar un plano entero, y en dimensiones superiores las reflexiones deben fijar un hiperplano entero). Sin embargo, ahora existen otras posibilidades, especialmente en la dimensión $3$ se puede combinar un simple valor propio $-1$ con un par de valores propios complejos conjugados (dando un reflejo rotatorio ), o se puede tener un triple valor propio $-1$ En el caso de un simetría central .
En ambos casos se puede disponer que la isometría genere un subgrupo finito del grupo ortogonal que no contenga ninguna reflexión, y encontrar un sólido que tenga exactamente ese grupo de simetrías: un sólido aciral que no tenga ningún plano de simetría especular. Esto es más fácil de ver para la simetría central que genera un $2$ -y la "tarjeta rectangular con las esquinas opuestas dobladas" pretende ilustrar este caso. Esta forma hace tiene el mismo aspecto que su imagen en el espejo: su imagen en el espejo puede ser devuelta a la forma original mediante un $180^\circ$ rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del espejo (que por cierto muestra que una simetría central es un caso límite de una reflexión rotativa, con el par de valores propios conjugados que van a $-1$ ). Otra forma de obtener este grupo de simetría es comenzar con un cubo, y colorear sus esquinas por pares diametralmente opuestos utilizando $4$ diferentes colores; entonces una isometría que preserve el color debe estabilizar cada una de las cuatro diagonales, y la única isometría no trivial que lo hace es la simetría central. Se puede reemplazar la coloración cortando tapas de distinto tamaño de las esquinas, para obtener un sólido puro (convexo) con sólo simetría central, y por lo tanto sin plano de reflexión.
Para el caso de una reflexión rotativa se puede hacer un ejemplo partiendo de un $n$ -hélice de palas, añadir su imagen especular por un plano ortogonal al eje, y luego girar la imagen especular por una $2n$ -a vuelta (la mitad del ángulo entre las aspas) para destruir la simetría del espejo. Para un tipo de sólido más clásico (y convexo), se podría partir de un antiprisma uniforme y cortar una tapa irregular de cada esquina para dejar como simetrías sólo el subgrupo generado por la reflexión rotativa que estabiliza el antiprisma.
Como observación final, si se admiten las isometrías afines, que tienen una componente de traslación y no fijan el origen, entonces hay isometrías de inversión de orientación sin reflexión ya en la dimensión $2$ los reflejos de deslizamiento. No pueden ser simetrías de una figura acotada (que tiene que fijar digamos el centro de la figura en algún sentido apropiado), pero pueden ser simetrías de figuras no acotadas, como lo ilustra el siguiente patrón de friso:
Por un lado, la afirmación sobre la figura 10 es discutible: no no "se ven igual en un espejo". Lo he comprobado:
La figura 10 es centralmente simétrica, es decir, es invariante bajo punto de reflexión . En el plano, la reflexión de un punto es lo mismo que una rotación de 180 grados. Así que también se puede decir que tiene simetría rotacional (de orden 2, porque giramos por $1/2$ de vuelta completa).
Por supuesto, depende del autor qué conjuntos llamar simétricos. Tal vez contempló la simetría central antes de decidir que en este libro simétrico debería significar "invariante bajo reflexión en una línea/plano ". O tal vez la segunda frase resaltada está realmente destinada a enfatizar la posibilidad de tener varios planos de simetría, no a formalizar el concepto de simétrico . Al menos así es como yo lo leo.
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