Infinito subproducto de esquemas afín

Question

Deje $(X_i)_{i\in I}$ ser una familia afín a sistemas, donde $I$ es un conjunto infinito y $X_i = Spec(A_i)$ por cada $i \in I$. Deje $X$ ser un subproducto de $(X_i)_{i\in I}$ en la categoría de esquemas. Deje $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ ser el anillo de global secciones.

(1) Es $X$ afín?

(2) Podemos deterimine la estructura de $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$$(A_i)_{i\in I}$?

Answer 1

(1)No, el esquema de $X=\bigsqcup X_i$ no es afín (a menos que casi todos los $X_i$ están vacías!) debido a que su subyacente espacio topológico $\mid X\mid=\bigsqcup \mid X_i\mid$ no es cuasi-compacto.

(2) Sí, $\Gamma (X,\mathcal O_X)$ se determina por la fórmula $$\Gamma (X,\mathcal O_X)=\prod \Gamma (X_i,\mathcal O_{X_i})=\prod A_i$$

Comentarios
a) El esquema de $X$ tiene como subyacente espacio topológico $\mid X\mid=\bigsqcup \mid X_i\mid$ , como ya se ha mencionado, y su estructura gavilla es el único haz de anillos de $\mathcal O_X$ satisfacción $\mathcal O_X\mid X_i=\mathcal O_{X_i}$.
[¡Oh, mi querido molestia hermanos , note que la "única" aquí significa realmente único, y no es el único que hasta el isomorfismo!]

b) con el fin De evitar cualquier malentendido, quiero destacar que el esquema de $X$ es el subproducto de los esquemas $X_i$ en la categoría de todos los programas (no en la categoría de afín a sistemas!).
En otras palabras, el abierto de inmersiones $u_i :X_i\hookrightarrow X$ producción de bijections $Hom_{schemes}(X,Y)=\prod Hom_{schemes}(X_i,Y): f\mapsto f\circ u_i$ cuales son functorial en el esquema de $Y$.

Editar
c) tenga en cuenta la sutil hecho de que la familia de afín esquemas $X_i=Spec(A_i)$ tiene también un subproducto en la categoría de $Affsch$ de los afín a sistemas, a saber,$X'=Spec(\prod A_i)$.
Hay un canónica de morfismos de los esquemas de $$\alpha: X=\bigsqcup_{Sch} X_i \to X'=\bigsqcup_{Affsch} X_i=Spec(\prod A_i)$$ of the coproduct of the $X_i$'s in the category of all schemes to the coproduct of the $X_i$'s en la categoría de afín esquemas.
Este morfismos $\alpha$ está determinada por sus restricciones de $\alpha|X_j:X_j=Spec(A_j)\to Spec(\prod A_i)$, los cuales son de doble para el anillo de proyecciones de $\prod A_i\to A_j$.
Y por último, permítanme insistir: este canónica de morfismos $\alpha$ es un isomorfismo de esquemas si y sólo la familia de esquemas$(X_i)$ es de un número finito de la familia.
[Esta edición es la consecuencia de una agradable conversación con mi amigo y muy competente colega Dehon: gracias François-Xavier!]

Answer 2

No, $X$ no es afín a si $I$ es infinito porque una infinita discontinuo de la unión de esquemas no es cuasi-compacto. El natural de mapa de $\mathscr{O}_X(X)\rightarrow\prod_i\mathscr{O}_X(X_i)=\prod_iA_i$ es un isomorfismo por la definición de una gavilla, junto con el hecho de que $X_i\cap X_j=\emptyset$ dentro $X$ todos los $i\neq j$.