Los primeros ejemplos en la teoría de Galois

Question

Estoy estudiando la Teoría del Campo y después de estudiar los teoremas y problemas sobre las extensiones, la división de los campos, etc... estoy empezando con los primeros teoremas de la Teoría de Galois en sí. En fin a ver si entiendo, tales teoremas, estoy tratando de probar los primeros ejemplos en la Teoría de Galois tal que la

Galois grupo de $x^3-2\in \mathbb Q[x]$ es el grupo de simetrías del triángulo.

Sé que las raíces de la ecuación de $x^3-2=0$ $2^{1/3},2^{1/3}w,2^{1/3}w^{2}$ donde $w$ es una raíz del polinomio irreducible $x^2+x+1$$\mathbb Q(2^{1/3})$. Por lo tanto podemos escribir la $x^3-2=(x-2^{1/3})(x-2^{1/3}w)(x-2^{1/3}w^{2})$, de donde $E=\mathbb Q(2^{1/3},w)$. De ello se desprende que $[E:\mathbb Q]=6$. Ya que E es una división de campo y por lo tanto normal también hemos $G(E/\mathbb Q)=6$, luego tenemos seis automorfismos de a $E$.

Estoy atrapado aquí, no puedo más, necesito ayuda por favor.

Muchas gracias.

Answer 1

Ya que usted sabe que $|G(E/\mathbb Q)|=6$ y desde el grupo de Galois permutes las raíces, de los cuales hay tres, se deduce que el grupo de Galois es un grupo con 6 elementos que pueden ser identificados con un subgrupo de $S_3$. Que se estrecha hacia abajo, precisamente, $S_3$ (hasta el isomorfismo).

Answer 2

La forma más sencilla de resolver este problema en particular es de destacar que $G(E/\mathbb{Q})$ es nonabelian y tiene orden de $6$, a partir de la cual la respuesta se desprende de inmediato. A continuación es un método constructivo para determinar esto, que esperamos también dará una idea de cómo acercarse a los problemas futuros de esta naturaleza.

Deje $\sigma\in G(E/\mathbb{Q})$. Desde $E=\mathbb{Q}(2^{1/3},\omega)$, es suficiente para definir $\sigma$'s de acción en $E$ mediante la definición de su acción en $\omega$$2^{1/3}$.

En primer lugar, consideramos que $\sigma(2^{1/3})$. $\sigma$ debe enviar conjugados para conjugados, es decir, si $x\in E$, el polinomio mínimo de a $x$ debe ser el mismo que el polinomio mínimo de a $\sigma(x)$. Por eso, debemos tener $\sigma(2^{1/3})=2^{1/3}$, $\omega 2^{1/3}$, o $\omega^2 2^{1/3}$. Del mismo modo, $\sigma(\omega)$ debe ir a $\omega$ o $\omega^2$. (Tenga en cuenta que $\sigma(\omega)$ no puede ir a $\omega^3=1$, ya que esto no soluciona $\mathbb{Q}$.)

Intuitivamente vemos que es la mejor manera de definir $$\rho:\left\{\begin{array}{l}2^{1/3}\mapsto \omega 2^{1/3}\\\omega\rightarrow\omega\end{array}\right. \text{ and }\tau:\left\{\begin{array}{l}2^{1/3}\mapsto 2^{1/3}\\\omega\rightarrow\omega^2\end{array}\right.$$ We can easily verify that $\rho$ and $\tau$ are indeed automorphisms of $E$ fixing $\mathbb{Q}$, and therefore that $\langle \sigma\tau \rangle\leqslant G(E/\mathbb{Q})$. Indeed, by design we can write any admissible $\sigma\in G(E/\mathbb{Q})$ in terms of $\sigma$ and $\tau$, so we expect $\langle \sigma\tau \rangle = G(E/\mathbb{Q})$. We confirm by matching the presentation of $\langle \sigma\tau \rangle$ to $$D_3=\langle r,s|r^3,s^2,r^s=r^{-1}\rangle$$ that $\langle \sigma\tau \rangle = G(E/\mathbb{Q})=D_3$.

Answer 3

Una posible siguiente paso es determinar cuáles son esos 6 automorfismos son. $w$ sólo se puede ir a la raíz de la $x^2+x+1$ (dos opciones), y $2^{1/3}$ sólo se puede ir a la raíz de la $x^3-2$ (tres opciones). Esto le da a la mayoría de las $2 \cdot 3 = 6$ automorfismos, y ya sabemos que hay 6 automorfismos, estos deben de ser todos ellos.

Ahora compruebe que estos automorfismos generar un grupo isomorfo a $S_3$.

Después de eso, usted podría tratar de determinar los subgrupos de $S_3$, y la correspondiente subcampos de $E$, según el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

Answer 4

mira la automorphism

$\sigma(2^\frac{1}{3}) = 2^\frac{1}{3}w$ $\sigma(w) = w$ ($2^\frac{1}{3}$ puede ir a $2^{1/3},2^{1/3}w,2^{1/3}w^{2}$)

$\tau(2^\frac{1}{3}) = 2^\frac{1}{3}$ $\tau(w) = w^2$ ($w $ ca ir a $w $$w^2$)

entonces <$\sigma,\tau$> =$S_3$