El primer espectro de un anillo, la comprensión de la geometría

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios de Atiyah & Macdonald en estos días. Hacer los ejercicios no es el problema, pero estoy teniendo problemas para entender geométricas acerca de $\text{Spec}(A)$.

Considere la posibilidad de $A=\mathbb{C}[X,Y]/(Y^2 - X^3 + X + 1)$ o algo así. Son los elementos de $\text{Spec}(A)$ (primer ideales de $\mathbb{C}[X,Y]$ contiene $P(X,Y)=Y^2 - X^3 + X + 1$) supone que "los puntos de la curva" $0 = Y^2 - X^3 + X + 1$ o algo? Puedo ver por qué $\text{Spec}(\mathbb{C}[X])$ es una afín a la línea de $\mathbb{C}$ (más otro "genérico"), pero no he sido capaz de conceptualizar lo que está pasando en general. Básicamente, los ejercicios que siguen llegando de nuevo a álgebra conmutativa, pero no estoy viendo el geometic ideas detrás de él.

Aquí está mi pregunta: ¿alguien que me señale algunas de primaria ejercicios que ayudan a interpretar la geometría de $\text{Spec}(A)$ para el anillo de $A$ arriba?

Answer 1

Máxima ideales son siempre prime, por lo que entre su primer ideales será la máxima.

¿Qué máximos ideales en $A=\mathbb{C}[X,Y]/(Y^2-X^3+X+1)$? Mucho como los números primos, la máxima ideales en $A$ son máximos ideales en $\mathbb{C}[X,Y]$ que contienen el ideal $P(X,Y)=Y^2-X^3+X+1$.

La máxima ideales en $\mathbb{C}[X,Y]$ son todos de la forma $(X-a,Y-b)$ algunos $a,b\in \mathbb{C}$. Este es el núcleo del mapa $\mathbb{C}[X,Y]\rightarrow \mathbb{C}$ que envía a $(X,Y)\mapsto (a,b)$. De esta manera, la máxima ideales de $\mathbb{C}[X,Y]$ se identifican con los pares de $(a,b)\in \mathbb{C}^2$.

La máxima ideales que contienen a $P(X,Y)$ son los núcleos de los mapas de $\mathbb{C}[X,Y]\rightarrow \mathbb{C}$ que envían $Y^2-X^3+X+1$$0$. Equivalentemente, $b^2-a^3+a+1=0$. De esta manera, la máxima ideales de $A$ se identifican con los pares de $(a,b)$ que resolver la ecuación de $Y^2-X^3+X+1=0$; es decir, con los puntos en la solución de la curva.

¿Qué acerca de la no-máxima de los números primos? Como sucede, $A$ sólo tiene un no-máxima primer ideal, el cero ideal. Dependiendo de cuánto álgebra conmutativa usted sabe, la mejor prueba de este hecho los usos que la dimensión de Krull de $A$$1$. Así que en este caso, el primer espectro de $Spec(A)$ se compone de las complejas soluciones a la ecuación de $Y^2-X^3+X+1=0$, junto con un "punto genérico" (como afín a la línea).

De manera más general, cuando un anillo conmutativo $A$ es un finitely generado por $\mathbb{C}$-álgebra, el conjunto de los máximos ideales de la $mSpec(A)$ será en bijection con los núcleos de los mapas de $A\rightarrow \mathbb{C}$, que a su vez están en bijection con el conjunto solución de algunas conjunto finito de ecuaciones polinómicas (este segundo bijection depende de la elección de finito de presentación para $A$). La no-máxima primer ideales todos se comportan como "genérico puntos", en el que se unta en la irreductible subvariedad de $mSpec(A)$.

Answer 2

La idea básica puede ser descrito de la siguiente manera.
Considerar, siguiendo a Descartes, la clásica curva de $C\subset \mathbb C^2$ consiste de pares de $(x,y)\in \mathbb C^2$ satisfacción $y^2-x^3+x+1=0$.
Clásicamente las funciones normales de las funciones de $C\to \mathbb C$ se definen como las restricciones de funciones polinómicas $F\in \mathbb C[X,Y]$ $C$y se forma un anillo de $\mathcal O(C)$ isomorfo a $A$.
Ahora, para cada una de las $P=(a,b)\in C$ puede asociar el ideal $\mathfrak m_P\subset \mathcal O(C)$ de las funciones de $f=F\mid C\in \mathcal O(C)$ de fuga en $P : f(P)=F(P)=0$.
Una buena medida puede también considerar el ideal de las funciones de $f\in \mathcal O(C)$ fuga en todos los de $C$ obteniendo así (en lugar tautologically) el cero ideal $\eta=(0)$.
Una de las idea profunda del esquema de la teoría es que la consideración de todas aquellas primer ideales, el $\mathfrak m_P$'s y $\eta$, constituyendo $Spec(A)$ es una versión superior de la ingenua de la curva de $C$, una vez que dotar a $Spec(A)$ con su topología de Zariski y su estructura gavilla $\mathcal O_C$.
Los antiguos, los clásicos, los datos son fáciles de deducir, a partir del esquema teórico: a la clásica puntos corresponden a la cerrada puntos de $Spec(A)$, y las funciones están dadas por $\mathcal O(C)=\Gamma(C, \mathcal O_C)$.

Answer 3

Les pido que miren en el Capítulo 4 de Vakil "Fundamentos de la Geometría Algebraica" (http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/). Tiene muy bien aunque a cabo ejercicios que le ayudarán a desarrollar una intuición de lo $Spec(A)$ por un anillo conmutativo $A$ es. Una de las razones para la introducción de $Spec(A)$ iba a ser capaz de lidiar con nilpotent elementos de un anillo (que dan lugar a las funciones que se desvanecen en todo el espacio, pero aún están a cero). Ravi se describe en el capítulo 4 y el capítulo 5 (visualización de nilpotents). Usted debe leer este tema, si tienen la oportunidad.

Pero, a ver cómo se relaciona con la geometría, en el sentido de la clásica afín a la geometría algebraica (básicamente el cerrado de los puntos del espectro de finitely generan álgebras de más de algebraicamente cerrado campos), puede ser útil para leer otras fuentes, tales como Fulton "Curvas Algebraicas" o el primer capítulo de Hatshorne la "Geometría Algebraica".

Pero, tratar de trabajar con el capítulo 4 de Vakil de la FOA de forma sistemática. Es una joya. Si recuerdo correctamente, en particular, que contiene ejercicios para el caso concreto que mencionas.