12 votos

¿Teoría de categorías sin co-dominios?

Una sobreyección es una función cuyo recorrido es igual a su codominio. Así, la distinción entre funciones y sobreyecciones requiere la noción de un codominio. De manera similar, una biyección es una inyección cuyo recorrido es igual a su codominio. Por lo tanto, esta distinción también requiere la noción de un codominio.

Sin embargo, los codominios parecen ser una idea muy artificial, para mí y para muchos otros; y por lo tanto evitamos usarlos. Así, hablamos de funciones $f:X \rightarrow Y$ y funciones $f: X \twoheadrightarrow Y$, siendo este último un sustituto de la noción de una sobreyección. Y hablamos de inyecciones $f:X \rightarrow Y$ e inyecciones $f:X \twoheadrightarrow Y$, siendo este último un sustituto de la noción de una biyección.

Todo eso está muy bien, pero hay una tensión aquí que acecha bajo la superficie. La fuente de la tensión es la teoría de categorías, que establece que los morfismos no solo tienen dominios sino también codominios. Así que a menos que podamos reformular la teoría de categorías sin codominios, estamos un poco atrapados.

¿Alguien ha logrado hacer esto?

Si no, aquí está mi intento muy preliminar de hacerlo. Una categoría* consistirá en los siguientes datos: una clase de objetos, una clase de isomorfismos (no homomorfismos), cada uno de los cuales tiene un dominio y un recorrido únicos; una operación que compone isomorfismos; y dos relaciones de orden parcial definidas en la clase de objetos, a saber, la relación "es un subobjeto de" y "es un objeto cociente de".

Por ejemplo, la declaración "$f$ es un monomorfismo $X \rightarrow Y$" se interpretaría como "Existe un subobjeto de $Y$, llámalo $B$, tal que $f$ es un isomorfismo con dominio $X$ y recorrido $B"." Y la declaración "$f$ es un morfismo $X \twoheadrightarrow Y$" se interpretaría como "Existe un objeto cociente de $X$, llámalo $A$, tal que $f$ es un isomorfismo con dominio $A$ y recorrido $Y"."

De todos modos, estaría interesado en escuchar la opinión de la gente sobre el tema.

EDITAR. Solo para aclarar, este enfoque apelaría a las personas que prefieren definir las funciones (etc.) como su gráfica, en lugar de como un triple.

1 votos

¿Cómo defines subobjets y objetos cociente aquí? En la teoría convencional, la definición de estos utiliza los codominios de los morfismos.

7 votos

Esta es una idea terrible, ya que hace que la composición sea muy difícil, sin mencionar que hace inútil la noción de cocernel. Para ser completamente honesto: si piensas que los mapas siempre deberían ser sobreyectivos, entonces no has hecho suficiente matemáticas.

3 votos

También permítanme citar a Mac Lane (1988) sobre el tema: "En aquel tiempo, un homomorfismo en álgebra siempre significaba un homomorfismo sobreyectivo (un mapeo sobre). Ahora los homomorfismos también surgen para los grupos de homología de espacios; en tales casos no son necesariamente sobreyectivos - el mapa familiar $x \mapsto e^{2 \pi i x}$ de la recta real al círculo es sobre el círculo, pero el homomorfismo inducido en la homología no es sobreyectivo. [...] Los problemas nos obligaron a considerar homomorfismos (y otros mapas) que no son necesariamente sobreyectivos o inyectivos."

10voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Estoy de acuerdo con la evaluación de Zhen en los comentarios de que si piensas que los mapas siempre deben ser sobreyectivos no has hecho suficiente matemáticas. Siendo sincero, puedo pensar en tantas razones por las que los mapas no siempre deben ser sobreyectivos que tengo problemas para organizar todos mis pensamientos sobre esta pregunta, así que solo voy a decir las cosas (por así decirlo).

En primer lugar, aquí hay algunas objeciones a tu propuesta específica.

  1. Estás asumiendo implícitamente algún tipo de factorización de morfismos en epimorfismos y monomorfismos. Como señalé recientemente, tales factorizaciones no existen ni son únicas en categorías generales.

  2. Los "subobjetos" y los "objetos cociente" no son relaciones. Un objeto dado puede ser un subobjeto o un objeto cociente de otro objeto de diferentes maneras dadas por diferentes clases de isomorfismos de monomorfismos o epimorfismos. Esto no es una afirmación particularmente esotérica; ya sucede en la categoría de conjuntos para objetos cociente.

Aquí hay algunas objeciones generales a lo que estás intentando hacer, en ningún orden en particular.

  1. Aquí hay asuntos de los que no conozco un lenguaje estándar para hablar, así que por falta de una palabra mejor los voy a llamar "asuntos de decidibilidad". A veces se necesita mucho esfuerzo para construir un mapa. Después de construirlo, a veces se necesita mucho esfuerzo para decidir si es inyectivo o sobreyectivo. Tal vez lo sea, tal vez no. Antes de determinar esto, ¿cómo vas a llamar a lo que has construido?

  2. Los codominios no son una idea artificial en absoluto una vez que dejas de pensar en categorías de conjuntos y funciones y pasas a categorías más interesantes. Por ejemplo, hay "categorías físicas" donde los objetos son estados de un sistema y los morfismos son formas de transicionar de un estado a otro. Hay "categorías lógicas" donde los objetos son proposiciones y los estados son pruebas de una proposición a partir de otra. Hay "categorías de cobordismos" donde los objetos son variedades y los morfismos son formas de conectar esas variedades juntas usando variedades de una dimensión mayor. Y así sucesivamente.

  3. Existen máquinas generales (es decir, funtores) para convertir morfismos en otros morfismos, y estas máquinas no preservan epimorfismos en general. Esta es una versión general del punto específico mencionado por Mac Lane a través de Zhen en los comentarios.

  4. En general, en matemáticas a menudo no estudiamos ejemplos específicos de algo, sino que estudiamos familias de ejemplos. Por ejemplo, a menudo no estudiamos números, sino familias de números (por ejemplo, secuencias). En la teoría de categorías, a menudo no estudiamos morfismos, sino familias de morfismos, en particular la familia de todos los morfismos de un objeto $x$ a un objeto $y$. Tiene sentido agrupar todos estos morfismos juntos aunque algunos de ellos pueden no ser epimorfismos, y esta agrupación tiene buenas propiedades formales.

9voto

jmans Puntos 3018

La teoría de categorías puede formularse completamente sin objetos, por lo que tu idea de deshacerte de los codominios se puede realizar con la ventaja añadida de que también puedes deshacerte de los dominios. Los objetos en la teoría de categorías, formalmente, son nociones auxiliares. Su único propósito en la vida es servir como dominios y codominios de flechas, pero son las flechas las que son importantes, y nada más.

Una forma formal de deshacerse de los objetos es definir una categoría como una clase de flechas, junto con una operación binaria parcial en la clase de flechas. Esa operación binaria parcial se llama composición. Después de definir algunas de las propiedades más elementales que uno espera de esta operación de composición parcial, se pueden 'recuperar' objetos identificando ciertas flechas especiales que se comportan como identidades. Así que el eslogan es: en una categoría los objetos pueden ser identificados con flechas identidad, y así ser desechados.

Una explicación más detallada se puede encontrar en el libro Categories for the Working Mathematician de Mac Lane. Una pregunta relacionada es Category Theory with and without Objects.

Dicho eso, hay poco que ganar (al menos conceptualmente) al deshacerse de los objetos (aunque hay algo que ganar lógicamente, ya que es más fácil describir la teoría de primer orden de las categorías de manera libre de objetos). Tu objeción a usar objetos (específicamente los codominios) es comprensible, pero tu solución parece introducir muchas complicaciones y está (perdona mi opinión aquí) lejos de ser elegante. El uso de dominios y codominios realmente no tiene consecuencias adversas. ¿Qué hay de horrible en distinguir entre funciones y sobreyecciones? ¿realmente quieres que cada función sea sobreyectiva al calcular explícitamente su imagen? Si es así, entonces aquí tienes un pequeño ejercicio: Encuentra el codominio de la función $f:[0,1]\to D$ donde $f(x)=\sin(x)\cos(x)e^x*1/(1+\sin(x))*\ln(|\sin(x)|+|\cos(x)|)$. Espero que estés de acuerdo en que es mucho más fácil simplemente decir: el codominio de $f$ es $\mathbb{R}$ y dar por terminado el asunto.

Adición posterior que incorpora comentarios e información de chat: Una situación en la que las funciones no tienen dominios o codominios especificados se puede incorporar dentro de la teoría de categorías de la siguiente manera. Sea $Par$ la categoría de conjuntos y funciones parciales. Fija algún conjunto universal $U$ en $Par$, entonces la subcategoría completa de $Par$ generada por $U$ se puede interpretar como un mundo donde las funciones siempre se pueden componer (aunque a veces su composición es la función vacía).

1 votos

Con tu ejemplo con $f$, simplemente escribirías $f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$. Sin embargo, esto no significa que $f$ tenga codominio $\mathbb{R}$. Significa que el rango de $f$ es un subconjunto de $\mathbb{R}.

0 votos

No estoy seguro de lo que quieres decir con eso.

1 votos

Lo que quiero decir es esto. Si definimos $g$ usando la misma ecuación que se usó para definir $f$, pero en cambio escribimos $g : [0,1] \rightarrow \mathbb{C}$, entonces $f$ sería igual a $g$. Mientras que en el enfoque con codominios, $f$ no sería igual a $g$ porque $f$ tiene codominio $\mathbb{R}$ mientras que $g$ tiene codominio $\mathbb{C}$.

1voto

Berci Puntos 42654

Preferiría hacer algo así: considerar todas las funciones, luego podemos definir la composición de dos cualesquiera de ellas (si quieres mantener los dominios, entonces el dominio de $f\circ g$ estará compuesto, por supuesto, por aquellos elementos $x$ tal que $g(x)\in Dom f).

Por lo tanto, resultaría en un semigrupo de funciones, en lugar de una categoría, probablemente la función vacía y las identidades (parciales) serían de uso especial. Una consecuencia interesante es que este semigrupo tendría un elemento unitario solo si existiera el conjunto total (el 'conjunto' de todos los conjuntos).


Si, además, suponemos el orden parcial de estas funciones sin codominio (lo que significa que $f\subseteq g$ si $\ \exists f(x)\Rightarrow g(x)=f(x)$), entonces las (identidades de los) objetos pueden ser recuperadas como las 'unidades locales': aquellas funciones $e$ que satisfacen $e\circ f\subseteq f$ y $f\circ e\subseteq f$ para todas las funciones $f$. [Si $e$ no es una identidad, entonces existe $x: e(x)\ne x$, entonces necesitamos un $f$ arbitrario que mapee valores diferentes a $e(x)$ y $x].

2 votos

Estrictamente hablando, un semigrupo es una categoría, por lo que considerar todas las funciones de esta manera resultará en una categoría. Es la subcategoría completa de la categoría de funciones parciales abarcada por un único conjunto U, el conjunto universal.

0 votos

Bien, sí. Y no hay codominios aquí.

1 votos

Sí, esto parece ser lo que OP quería. Considerar todas las funciones, sin codominios (ni dominios así como tampoco), de modo que cualquier par de funciones sea componible. Así que está pensando en funciones endoparciales en un conjunto universal.

1voto

Creo firmemente que la idea que estás intentando expresar se describe mejor como "todas las funciones tienen implícitamente el mismo codominio — todo el universo de discurso", junto con la estipulación adicional "cada conjunto viene con una incrustación canónica en el universo".

Creo que obtendrías mejores resultados no intentando reescribir la teoría de categorías, sino intentando expresar estas ideas en términos consistentes con la teoría de categorías.

Existe una expresión conveniente de esta idea (pero no recuerdo dónde la he visto antes). Lo que necesitas es:

  • Una categoría $\mathcal{C}$
  • Una subcategoría $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{C}$ que es tanto:
    • Una subcategoría amplia (es decir, que incluye todos los objetos)
    • Un preorden (es decir, entre cualquier par de objetos hay a lo sumo una flecha)

La idea aquí es que $\mathcal{P}$ expresa la elección en cómo todos los diferentes objetos deberían estar incrustados uno en otro. Por ejemplo, utilizando esto para codificar una teoría de conjuntos material como ZFC, se tomaría $\mathcal{C}$ como la categoría de conjuntos y funciones (de la manera usual en teoría de categorías), y se tomaría $\mathcal{P}$ como la subcategoría de funciones que son inclusiones ZFC-teóricas.

Una de las características de tener $\mathcal{P}$ es que permite una elección canónica de conversiones implícitas en el mismo espíritu que una teoría de conjuntos material. Para los propósitos del OP, una de esas aplicaciones es permitir cambiar implícitamente el codominio de una flecha.

Explícitamente, dado una flecha $f : X \to Y$, en cualquier contexto donde esperamos una flecha $X \to Z$:

  • Podemos usar $f$ para referirnos a la flecha $if$, asumiendo que $\mathcal{P}$ contiene una flecha $i : Y \to Z$
  • Podemos usar $f$ para referirnos a la flecha $f'$, asumiendo que $\mathcal{P}$ contiene una flecha $i : Z \to Y$ tal que podemos factorizar $f = if'$

Probablemente quieras que $\mathcal{P}$ tenga algunas propiedades adicionales para que las cosas se comporten de manera más ordenada; por ejemplo, probablemente quieras que todas las flechas de $\mathcal{P}$ sean monicas en $\mathcal{C}$, y tal vez quieras que cada par de objetos tenga un objeto común sobre (es decir, para cada $X,Y$, existe algún $Z$ con $X \leq Z$ y $Y \leq Z$).


Mientras escribo esto, recuerdo que en Categorías, Alegorías, Freyd y Scedrov describen una forma de presentar una categoría en términos de objetos y proto-morfismos. Ver esta entrada de nLab

Las flechas de una categoría presentada de esta manera se ven como instancias de "el proto-morfismo $f$ puede interpretarse como yendo de $X$ a $Y$". De hecho, definen la notación gráfica "$X \xrightarrow{f} Y$" para significar precisamente esa relación.

(sin embargo, es más común decir que las flechas son triples $(X, f, Y)$)

El punto de mencionar esto es que su descripción agrega explícitamente esta capa de compatibilidad. Tienes una concepción diferente de lo que deberían ser las funciones — deberías ver las flechas de la categoría no como funciones, sino más bien como formas de interpretar una función como un mapeo entre objetos.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X