Una sobreyección es una función cuyo recorrido es igual a su codominio. Así, la distinción entre funciones y sobreyecciones requiere la noción de un codominio. De manera similar, una biyección es una inyección cuyo recorrido es igual a su codominio. Por lo tanto, esta distinción también requiere la noción de un codominio.
Sin embargo, los codominios parecen ser una idea muy artificial, para mí y para muchos otros; y por lo tanto evitamos usarlos. Así, hablamos de funciones $f:X \rightarrow Y$ y funciones $f: X \twoheadrightarrow Y$, siendo este último un sustituto de la noción de una sobreyección. Y hablamos de inyecciones $f:X \rightarrow Y$ e inyecciones $f:X \twoheadrightarrow Y$, siendo este último un sustituto de la noción de una biyección.
Todo eso está muy bien, pero hay una tensión aquí que acecha bajo la superficie. La fuente de la tensión es la teoría de categorías, que establece que los morfismos no solo tienen dominios sino también codominios. Así que a menos que podamos reformular la teoría de categorías sin codominios, estamos un poco atrapados.
¿Alguien ha logrado hacer esto?
Si no, aquí está mi intento muy preliminar de hacerlo. Una categoría* consistirá en los siguientes datos: una clase de objetos, una clase de isomorfismos (no homomorfismos), cada uno de los cuales tiene un dominio y un recorrido únicos; una operación que compone isomorfismos; y dos relaciones de orden parcial definidas en la clase de objetos, a saber, la relación "es un subobjeto de" y "es un objeto cociente de".
Por ejemplo, la declaración "$f$ es un monomorfismo $X \rightarrow Y$" se interpretaría como "Existe un subobjeto de $Y$, llámalo $B$, tal que $f$ es un isomorfismo con dominio $X$ y recorrido $B"." Y la declaración "$f$ es un morfismo $X \twoheadrightarrow Y$" se interpretaría como "Existe un objeto cociente de $X$, llámalo $A$, tal que $f$ es un isomorfismo con dominio $A$ y recorrido $Y"."
De todos modos, estaría interesado en escuchar la opinión de la gente sobre el tema.
EDITAR. Solo para aclarar, este enfoque apelaría a las personas que prefieren definir las funciones (etc.) como su gráfica, en lugar de como un triple.
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¿Cómo defines subobjets y objetos cociente aquí? En la teoría convencional, la definición de estos utiliza los codominios de los morfismos.
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Esta es una idea terrible, ya que hace que la composición sea muy difícil, sin mencionar que hace inútil la noción de cocernel. Para ser completamente honesto: si piensas que los mapas siempre deberían ser sobreyectivos, entonces no has hecho suficiente matemáticas.
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También permítanme citar a Mac Lane (1988) sobre el tema: "En aquel tiempo, un homomorfismo en álgebra siempre significaba un homomorfismo sobreyectivo (un mapeo sobre). Ahora los homomorfismos también surgen para los grupos de homología de espacios; en tales casos no son necesariamente sobreyectivos - el mapa familiar $x \mapsto e^{2 \pi i x}$ de la recta real al círculo es sobre el círculo, pero el homomorfismo inducido en la homología no es sobreyectivo. [...] Los problemas nos obligaron a considerar homomorfismos (y otros mapas) que no son necesariamente sobreyectivos o inyectivos."
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En espen180, pienso que los subobjetos y objetos cociente serían elementos de la clase de objetos. En, Zhen Lin, lo que estoy diciendo es que la sobreyectividad no necesariamente debe ser una propiedad de un morfismo en absoluto. Esto me parece que es esencialmente equivalente al enfoque habitual.
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¿Quiénes son estos "muchos otros"? ¿Cuántos de ellos hay?
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Considero que la noción de "codominio" no es artificial si tienes gran dificultad para describir las cosas sin invocarlo.
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Creo que hay mucha confusión sobre esta pregunta (y para ser honesto, yo mismo no entiendo bien la parte del "intento"). Por lo que veo, el deseo de deshacerse de los codominios equivale a querer identificar funciones que son idénticas en todos los sentidos excepto que una se afirma tener como codominio un superconjunto del codominio de la otra. Así, por ejemplo, las funciones de valores reales en $X$ se convierten en un subconjunto (en lugar de corresponder inyectivamente a un subconjunto) de las funciones de valores complejos en $X$.