Cómo calcular que la unidad de dígitos de $\frac{(7^{6002} − 1)}{2}$?

Question

La madre del problema es:

Encontrar la unidad de dígitos en LCM de $7^{3001} − 1$ $7^{3001} + 1$

Este problema viene con cuatro opciones para elegir la respuesta correcta desde mi enfoque,como el número dos de dos números pares consecutivos de ahí la necesaria LCM es $$\frac{(7^{3001} − 1)(7^{3001} + 1)}{2}$$

El uso de álgebra que se convierte en la expresión $\frac{(7^{6002} − 1)}{2}$,ahora no es difícil ver que la unidad de dígitos de $(7^{6002} − 1)$$8$.

Por lo que la posible unidad de dígito es $4$ o $9$,puesto que no se $9$ como opción I $4$ como la unidad de dígitos que es correcto, pero como esta última parte es una especie de fluke no estoy seguro de si mi planteamiento es correcto o no, o puede ser que yo soy incapaz de averiguar la última parte ¿cómo estar seguro de que la unidad de dígitos de $\frac{(7^{6002} − 1)}{2}$ $4$?

Answer 1

Su argumento es genial!!! Para terminar, tenga en cuenta que $\frac{7^{6002}-1}{2}=\text{LCM}(7^{3001}-1,7^{3001}+1)$ es aún, por lo que no podría unidades dígito de 9.

Answer 2

Aquí hay otra manera: $\ $ por Euler $\phi\:,\ $ $\rm\:7^{3001}\: \equiv\ 7\pmod{20}$

por lo tanto $\rm\ n\: =\: (7^{3001}-1)\ (7^{3001}+1)\ \equiv\ 6\cdot 8\ \equiv\ 8\pmod{20}$

Por lo tanto, desde el $\rm\:n\:$ es incluso, obtenemos $\rm\:n/2\ \equiv\ 4\pmod{10}\ $ por la cancelación de $2\:.$

NOTA $\ $ Si Euler $\phi$ es desconocido entonces se puede proceder simplemente de la siguiente manera

$\mod\ 20:\ \ 7^2 \equiv 9\ \Rightarrow\ 7^4 \equiv\ 9^2 \equiv 1\ \Rightarrow\ \ 7^{3001}\ \equiv\ 7\ (7^4)^{750}\: \equiv\ 7$

Answer 3

Le mire directamente a la madre de problema. Exactamente como en su enfoque, se observa que necesitamos para evaluar $$\frac{(7^{3001}-1)(7^{3001}+1)}{2}$$ modulo $10$.

Deje que nuestro expresión por encima de los ser $x$. A continuación,$2x= (7^{3001}-1)(7^{3001}+1)$. Vamos a evaluar $2x$ modulo $20$.

Tenga en cuenta que $7^{3000}$ es congruente a $1$ modulo $4$ y el modulo $5$. Por lo tanto $7^{3001} \equiv 7\pmod{20}$, y por lo tanto $$2x\equiv (6)(8)\equiv 8 \pmod{20}.$$ De ello se desprende que $x\equiv 4\pmod{10}$.

Answer 4

El modo elemental: $7^2=50-1$ mod $100$ por lo tanto $7^4=1$ mod $100$ por lo tanto $7^{6000}=1$ mod $100$ porque $6000$ es un múltiplo de a $4$, por lo tanto $7^{6002}=7^2$ mod $100$ y su número es $\frac12(7^2-1)$ mod $50$. Esto es $24$ mod $50$ por lo tanto el último dígito es $4$ (y a priori, el dígito anterior es $2$ o $7$ pero uno tiene que ser un poco más cuidadoso para demostrar que es $2$).