Actualmente estoy trabajando en el Álgebra de Lang. Estoy bastante confundido por lo que parece ser un punto trivial. En un lema que precede a la demostración del Teorema de Sylow (que es esencialmente el Teorema de Cauchy), el lema 6.1, demuestra que si un grupo abeliano finito tiene un exponente $n$ entonces su orden divide alguna potencia de $n$ . Me siento cómodo con este hecho. Sin embargo, inmediatamente utilizó esto para mostrar que todos esos grupos con orden $np$ , para $p$ primo, tienen un elemento de período $p$ . Esto me parece un sinsentido. ¿Qué me falta?
Respuestas
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Zoe Desvl
Puntos
8
Por el hecho de que $G$ tiene un orden divisible por $p$ podemos suponer que $$ |G|=p^ra $$ donde ambos $r$ et $a$ son enteros positivos y que $\text{gcd}(p,a)=1$ .
Ahora queremos aclarar la segunda parte de este lema utilizando lo que hemos obtenido en la primera parte. Sea el exponente $n$ . Con lo que obtuvimos en la parte 1, hay un número entero positivo $s$ tal que $$ p^ra|n^s. $$ Se puede comprobar que $p|n$ . Así que para algunos $x \in G$ et $x \neq e$ , poner \[ y=x^{ \frac {n}{p}} \in {G} \] Así que $y^p=e$ que demostró que existe un elemento cuyo período es divisible por $p$ en $G$ siempre y cuando $p|(G:1)$ .
El hecho de que $p^ra|n^s$ es donde la parte 1 entró en juego. Di, $n^s=qp^r$ , donde $s,q,r$ son todos enteros positivos. Como tenemos $qp^{r-1}=n^{s-1}\frac{n}{p}$ es un número entero. Se verifica inmediatamente asumiendo $p \nmid n$ lo que lleva a una contradicción.
