Hay una extensión del teorema de los residuos para multivariante de las funciones complejas? Supongamos que tenemos una función de $n$ variables complejas $s_{n}$ y que deseen integrar sobre algunos región en $\mathbb{C}^{n}$. Se puede aprovechar las singularidades de la función, como en el caso de una sola variable para evaluar la integral? Por ejemplo \begin{equation}G=\int_{\Omega} d^{n}s \frac{1}{\sum_{i} s_{i}^{2}}\end{equation} Este es singular por la $n$ raíces de la ecuación de $\sum_{i}s_{i}^{2}=0$ pero no puedo pensar en una manera de extender el teorema de los residuos para tal caso. Creo que se puede ir a 'polar' coordenadas y puede simplificar este, pero, ¿qué acerca de las funciones más complicadas donde esto no es posible? Lo siento si la pregunta está mal definida.
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Hay varios problemas con los residuos de las funciones de varias variables complejas, pero no son insuperables.
Vamos a empezar por pensar en la de una variable de caso. Para conseguir algo que puede ser generalizado a varias variables, tenemos que pensar en el uno-variables de los residuos de una manera particular. Primero de todo, no debemos pensar de los residuos como una operación asociar números a funciones, sino como una operación en formas diferenciales.
En uno de variable compleja, que normalmente se integran en las curvas, más a menudo curvas, que se une a un dominio en el $\mathbb{C}$, y lo más apropiado para integrar a lo largo de una curva es un $1$-forma. Diferencial de $1$-formas vienen en dos sabores: $(1,0)$-formas, es decir, cosas que localmente puede ser escrito $f(z,\bar z)\,dz$ $(0,1)$- formas del tipo $f(z,\bar z)\,d\bar z$. En un primer curso de análisis complejo, usualmente solo encontramos la primera versión, y más a menudo cuando los $f$ es holomorphic, es decir, cuando "$f$ sólo depende de $z$, no en $\bar z$".
Resulta que una buena manera de pensar de los residuos es, como algo que se asocia una nueva "forma", (técnicamente, una actual) a un $1$forma $f(z)\,dz$. Esta nueva forma, que nos llame a es un residuo de la corriente debe ser apoyado en la singularidad conjunto de $f$, y queremos tener una fórmula de representación
$$\int_\gamma f(z)\,dz = \int_X \operatorname{res}(f).$$
En el caso más simple, cuando $f$ tiene un solo polo dentro de $\gamma$, el residuo de $f$ debe ser un punto de masa situado en la singularidad; más precisamente, $\operatorname{res}(\frac{f(z)}{z-p}) = 2\pi i f(p) \delta_p$ donde $p$ es el único polo. Con esta interpretación, tenemos la costumbre de Cauchy de la integral fórmula:
$$\int_\gamma \frac{f(z)}{z-p}\,dz = \int_{p} \operatorname{res}(\frac{f(z)}{z-p}) = \int_{p} 2\pi i f(p)\,d\delta_p(z) = 2\pi i f(p) .$$
En varias variables, las cosas se ponen más complicadas. Curvas de hacer no obligado dominios, y las singularidades de meromorphic funciones no son compactos, y no $0$-dimensional. Si empezamos con un $(n,n-p)$-forma, queremos asociar una actual, apoyado sobre la singularidad de la forma de tal manera que obtenemos una representación integral de forma similar a la anterior.
Para los formularios tener singularidades de particularmente de tipo simple (palabra clave: completa intersecciones), se ha sabido por mucho tiempo cómo hacerlo. Coleff y Herrera escribió un influyente papel en 1978 acerca de esto. Para la más complicada de las singularidades, ha habido una serie de mejoras y generalizaciones, debido a (entre otros) Passare, Tsikh, Andersson, Samuelsson, Wulcan por sólo mencionar algunos. Es todavía un tema de investigación activa para encontrar la "mejor" versión de residuos de corrientes, y se requiere de herramientas de la geometría algebraica (incluyendo Hironaka la resolución de singularidades) así como álgebra conmutativa (de varios tipos de ideales de descomposición).
Tome un vistazo a la encuesta realizada por A. P. Yuzhakov y el libro de L. A. Aizenberg , A. K. Tsikh , A. P. Yuzhakov . Creo que es este.
