probar que la función f es un polinomio.

Question

Supongamos que $f$ es toda una función, y que en cada potencia de la serie

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^n$ al menos uno de los coeficientes es de 0. Demostrar que $f$ es un polnomial.

Sugerencia: $n!c_{n}=f^{(n)}(a)$

En realidad, esta es una Rudin del libro de ejercicios.

Traté de desigualdad de Cauchy, y el teorema de Liouville ( por $g(z)=\sum_{n=m}^{\infty} c_{n}(z-a)^n$ es limitado), pero fracasó.

Realmente quiero resolver, pero no tengo ninguna idea. Necesito de su ayuda.

Answer 1

A partir de la sugerencia, vemos que para cada $c \in \mathbf C$, superior derivado de la $f$ se desvanece en $c$. Deje $Z_n = \{z \in \mathbf C : f^{(n)}(z)=0\}$. Si no derivado de la $f$ se desvanece de forma idéntica, a continuación, cada una de las $Z_n$ es un circuito cerrado, en ningún subconjunto denso de $\mathbf C$. Pero $\mathbf C = \bigcup_{n\geq 0} Z_n$ es imposible por la Categoría de Baire Teorema. Así, algunos derivados de $f$ se desvanece de forma idéntica, lo que implica $f$ es un polinomio.