Creo que esta es una buena pregunta. Como se mencionó en los comentarios, esta pregunta subyace a la teoría de códigos de corrección de errores. Hay disponibles varios textos interesantes sobre este tema, por ejemplo: MacWilliams & Sloane y van Lint. Algunas notas de clase, desde la perspectiva de CS, están disponibles aquí y aquí.
Equipemos el hipercubo booleano $\{0,1\}^n$ con la métrica de Hamming como es habitual. Un "código" es simplemente un conjunto $C$ de puntos en el hipercubo. (Más generalmente, también se pueden considerar "códigos $q$-arios", que son solo códigos para $\{0,1, \ldots, q-1\}^n$.) Su tamaño es $|C|$ y su distancia mínima es $\min_{x,y \in C, x \neq y} d(x,y)$. La pregunta ahora es entender el equilibrio entre el tamaño y la distancia mínima del código. El equilibrio exacto todavía está abierto, pero conocemos muchos límites.
Límites inferiores sobre el tamaño. Creo que el límite de Gilbert-Varshamov (GV) es el único límite inferior no trivial para el caso booleano. Vea también aquí. Se puede demostrar este límite considerando un código aleatorio o un empaquetado codicioso de códigos. (En realidad, podemos hacer un poco mejor; vea el artículo de Jiang-Vardy para más detalles).
Límites superiores sobre el tamaño. Aquí, hay varios límites interesantes. Los más destacados son el límite Singleton (que es de interés principalmente cuando $q$ es "grande"), el límite Griesmer, el límite Hamming, el límite Plotkin, el límite Johnson y Elias-Bassalygo, y finalmente los límites de McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch (hay dos límites MRRW). No puedo encontrar un enlace o referencia adecuados, pero vea el artículo de Navon-Samorodnitsky para una prueba del primer límite MRRW; este artículo ofrece una aplicación encantadora de las transformadas de Fourier a los códigos. Las pruebas de algunos de los límites elementales en la lista pueden encontrarse también en las notas de clase vinculadas anteriormente.
Aunque no ha habido mejoras en el límite inferior en la tasa sobre los códigos aleatorios, el límite superior ha sido mejorado varias veces, hasta el límite MRRW (1977). Por esta razón, a veces se opina que el límite GV es de hecho el mejor posible para los códigos binarios. Cabe destacar aquí que tenemos códigos que superan el límite GV para $q \geq 100$. (El $100$ es solo un número conveniente. Encontraré y publicaré los resultados exactos y su referencia más tarde).
Lamento que mi respuesta haya resultado ser solo una bibliografía de los límites conocidos, sin ninguna explicación. La pregunta era demasiado amplia, y puedo intentar hacer un mejor trabajo si la pregunta se hace más estrecha en alcance y más enfocada (por ejemplo, una pregunta separada solo sobre los límites elementales, o solo sobre los límites MRRW).
