Estoy trabajando en una teoría generalizada de construcciones geométricas, que implica la generación de nuevos números, como las raíces reales de polinomios cuyos coeficientes son los números existentes de la satisfacción de ciertas relaciones. Las siguientes preguntas generales surgir, y me pregunto si alguien ya sabe las respuestas o pueden conectarse a un origen que les haría:
(1) Si $x = a + b i$ es una raíz de un polinomio irreducible sobre los racionales de grado $n$, ¿cuál es el máximo grado posible de los polinomios irreducibles sobre los racionales para los números reales $a$$b$?
(2) Si $\operatorname{Alg}_n$ es el campo generado por todas las raíces de los polinomios sobre los racionales de grado $\leq n$, e $\operatorname{RAlg}_n$ es el campo generado por todas las raíces REALES de polinomios sobre los racionales de grado $\leq n$, por lo que $n$,$\operatorname{Alg}_n=\operatorname{RAlg}_n[i]$?
(3) La función inversa de f(x)=x^5+x está definida de forma única para todos los números reales; la función inversa de f(x)=x^5-x está definida de forma única para |x|>sqrt(sqrt(0.08192)) y tiene dos o tres valores reales de otra manera. Puede cualquiera de estas funciones se obtienen a partir de la otra (suponiendo que se tiene acceso a todas las tres raíces reales cuando existen), utilizando sólo las operaciones de grado <5 y complejo de 5 de raíces (es decir, real 5 de raíces y el ángulo de 5 secciones)?