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Grados de las partes real e imaginaria de un número algebraico

Estoy trabajando en una teoría generalizada de construcciones geométricas, que implica la generación de nuevos números, como las raíces reales de polinomios cuyos coeficientes son los números existentes de la satisfacción de ciertas relaciones. Las siguientes preguntas generales surgir, y me pregunto si alguien ya sabe las respuestas o pueden conectarse a un origen que les haría:

(1) Si $x = a + b i$ es una raíz de un polinomio irreducible sobre los racionales de grado $n$, ¿cuál es el máximo grado posible de los polinomios irreducibles sobre los racionales para los números reales $a$$b$?

(2) Si $\operatorname{Alg}_n$ es el campo generado por todas las raíces de los polinomios sobre los racionales de grado $\leq n$, e $\operatorname{RAlg}_n$ es el campo generado por todas las raíces REALES de polinomios sobre los racionales de grado $\leq n$, por lo que $n$,$\operatorname{Alg}_n=\operatorname{RAlg}_n[i]$?

(3) La función inversa de f(x)=x^5+x está definida de forma única para todos los números reales; la función inversa de f(x)=x^5-x está definida de forma única para |x|>sqrt(sqrt(0.08192)) y tiene dos o tres valores reales de otra manera. Puede cualquiera de estas funciones se obtienen a partir de la otra (suponiendo que se tiene acceso a todas las tres raíces reales cuando existen), utilizando sólo las operaciones de grado <5 y complejo de 5 de raíces (es decir, real 5 de raíces y el ángulo de 5 secciones)?

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Para $(1)$:

Si $r$ es una raíz de $P(x)$ $s$ es una raíz de $Q(x)$ $x+y$ es una raíz de la resultante de $P(x)$ $Q(z-x)$ considerando los $Q(z+x)$ un polinomio en $x$, y $rs$ es una raíz de la resultante de $P(x)$$x^{deg(Q)}Q(z/x)$.

La resultante se desvanece iff $P(x)$ $Q(z-x)$ tienen una raíz común. Observe que si $z=r+s$$P(r)=0$$Q((r+s)-r)=Q(s)=0$. De la misma manera por $P(x)$ y $x^{deg(Q)}Q(rs/x)$. La resultante tiene un grado igual $deg(P)deg(Q)$. Tenemos que $a+ib$ es raíz de un polinomio de grado $n$, $a-ib$ es demasiado, el mismo polinomio. A continuación, $2a=(a+ib)+(a-ib)$ es una raíz de un polinomio de grado $2n$, y, por tanto, $a$ es demasiado. Por lo tanto, un límite para un es $2n$.

Asimismo, $ib$ es raíz de un polinomio de grado $2n$ $i$ es la raíz de un polinomio de grado $2$, $i^2+1=0$. Así, a partir de lo anterior, podemos conseguir que $b$ es un de la raíz de un polinomio de grado en la mayoría de las $4n$.

Para $(2)$:

Si $m$ $n$ son coprime y $x$ es algebraicas de grado $n$ $y$ es de grado $m$ $x+y$ es de grado $n+m$. Pienso, por lo tanto, el tiempo que podemos producir dos coprime números de $\leq n$ (e $>1$) tendremos $RAlg_n[i]$ mayor que $ALg_n$. Así, por $n>2$ no deberíamos conseguir la igualdad.

  1. Para $n=1$, $Alg_n$ no contiene $i$.

  2. Para $n=2$, $Alg_n$ no contiene $\sqrt{2}+i\sqrt{3}$. El mínimo polinomio tiene grado $4$.

  3. Para $n=3$, $Alg_n$ no contiene $\sqrt[3]{2}+i\sqrt[3]{3}$. El mínimo polinomio tiene grado $18$.

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