¿Qué es una deformación de una categoría?

Question

Tengo varios ingenuo y estúpido posible preguntas acerca de las deformaciones de las categorías. Espero que alguien pueda al menos me apunte a algunas referencias apropiadas.

¿Qué es una deformación de un (lineal, dg, A-infinito) categoría? Es un conjunto de categorías" más de un esquema? ¿Cómo se puede hacer una noción rigurosa? Tal vez a través de las pilas? Supongamos que tomamos un poco de buen esquema de $X$ y consideramos $D^b\text{Coh}(X)$; si nos deforman $X$, entonces ¿también obtenemos una correspondiente a la deformación de la derivada de la categoría? Lo que hace este correspondiente deformación "parece"? Estamos deformando los morfismos? Los objetos? Tanto?

Del mismo modo, lo que en la situación en la que tenemos una de las categorías de los módulos a través de un álgebra de $$? Si nos deforme el álgebra, a continuación, hacer también obtenemos una correspondiente a la deformación de la categoría? De nuevo, lo que hace es "parecer"?

Y por último, en cualquiera de los casos anteriores, existen deformaciones de las respectivas categorías que no corresponden a las deformaciones de $X$ o de $A$, respectivamente? Espero que la respuesta sea "sí"; entonces mi siguiente pregunta es: ¿hay alguna niza ejemplos de tales deformaciones que todavía puede ser descrito de forma explícita o de forma geométrica?

Yo soy más de todos los interesados en ejemplos concretos, y menos interesado en la teoría general.

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Edit 1: probablemente debería haber mencionado esto cuando por primera vez publicado este (casi 3 meses!), pero de alguna manera se me olvidó. Kontsevich ha sido, al menos implícitamente, hablando de las deformaciones de las categorías, al menos desde 1994, en el artículo original introducción de homológica simetría de espejo. La idea (o la "filosofía"), parece ser que la deformación de la teoría de una categoría debe tener algo que ver con su Hochschild (co)homología. Pero yo todavía no entiendo esta conexión, al menos en cualquier tipo de generalidad. Tal vez esto se explica en algunos de los documentos ya mencionados en las respuestas de abajo --- lo que me gustaría ver es cómo se relaciona la deformación de un (lineal/dg/A-infinito) de la categoría", sin embargo uno la define, a Hochschild (co)homología.

Tal vez sea de alguna manera obvia... pero estoy bastante densa y desearía que se detallan...

Así que espero que alguien pueda explicar esto a mí, o me apunte a un punto en un papel en donde se explica.

Voy a agregar una recompensa a esta pregunta sólo para la base de ella.

Edit 2: Ver mi respuesta a continuación.

Answer 1

Aquí es una definición que he oído: una familia de categorías de aditivos para más de un esquema de $X$ (es decir, definida sobre un campo $k$) $k$-lineal aditivo categoría ${\mathcal C}$ equipada con una estructura de un módulo de categoría más de la categoría monoidal de (cuasi)coherente con poleas en $X$. Al parecer, esta opción es más general y flexible, por ejemplo, permite dar sentido a la noción de curvatura de una familia, etc.

También quiero mencionar que hay ahora un nuevo papel de van den Bergh en esto, arXiv:1002.0259.

Answer 2

Ciertamente no es mi campo, pero puede consultar el artículo de Lowen y Van den Bergh teoría de deformación de categorías abelian. Creo que es donde apareció la primera noción de la deformación de una categoría.

Answer 3

Tal vez es útil para buscar en estas conferencias por Yekutieli: arXiv:0801.3233. Allí se discute trenzado deformaciones de variedades algebraicas $X$ sugerido por Kontsevich, es decir, las deformaciones de la categoría coherente de las poleas en $X$. Estas deformaciones son clasificados por la segunda Hochschild cohomology de $X$, que por el Hochschild-Kostant-Rosenberg es el teorema de $H^0(\wedge^2T)\oplus H^1(T)\oplus H^2({\mathcal O})$, donde ${\mathcal O}$ es la estructura de la gavilla y $T$ es la tangente gavilla de $X$.

Aquí, a grandes rasgos, el primer sumando corresponde a no conmutativa las deformaciones de la estructura de la gavilla (global de Poisson bivectors), el segundo sumando corresponde a conmutativa las deformaciones de esta gavilla (es decir, formal deformaciones de X como de una gran variedad), y el tercer término corresponde a las deformaciones de la categoría coherente de las poleas que no surgen de las deformaciones de la estructura de la gavilla como una gavilla de álgebras (es decir, el álgebra deformaciones sólo existen en los locales de los gráficos, pero no de pegamento en una gavilla; sólo sus categorías de módulos de pegamento en un montón de categorías, llamado gerbe).

Otra referencia útil en van den Bergh del papel arXiv:matemáticas/0603200.

Answer 4

Usted puede pensar que de pequeña categoría de aditivo sobre un campo $F$ nada más que un álgebra asociativa con distinguidos idempotents. Aquí un "pequeño" categoría es aquel en el que las clases de objetos y morfismos son lo suficientemente pequeñas para ser un conjunto. Un "aditivo" de la categoría de más de un campo es aquella en la que el hom espacios son de todos los espacios vectoriales de más de $F$, pero nosotros no la demanda de la extra estructura en un abelian categoría, es decir, núcleos o cokernels o directa sumas. A su vez la categoría en un anillo, tomar la suma directa de todos los hom espacios. Los elementos de identidad de los objetos se distinguen idempotents. (La construcción es un poco más razonable si la categoría es esquelético, es decir, si sólo hay un objeto de cada tipo de isomorfismo.)

Las proyecciones de satisfacer algunas de sus propiedades. Todos los pares de ellos se multiplican a cero, y sirven como un particiones elemento de identidad para el álgebra. (Si hay infinitamente muchos objetos, entonces el anillo no tiene un elemento de identidad.)

Por ejemplo, la ruta de álgebra de un carcaj es tradicionalmente descrito como un álgebra, pero es realmente una categoría describe exactamente de esta forma, con un objeto para cada vértice de la aljaba.

Una vez que te das cuenta de que $F$-categoría de aditivo es sólo un álgebra con algunos elementos marcados, usted puede deformar. Por ejemplo, la Temperley-Lieb categoría es la categoría cuyos objetos son de $n$ puntos en una cadena, y cuyos morfismos son combinaciones lineales de planos elecciones de $n+k$ puntos, con $n+k$, incluso. El círculo tiene un valor escalar, y este parámetro da una familia de un parámetro de las deformaciones de la TL categoría.

Si se deforman un álgebra de $A$, entonces a veces se puede decir que son la deformación de la categoría de $Una$-módulos. Pero a veces no, ya que en especial los valores de los parámetros, el hom espacios de entre los $$-módulos podrían ser más grandes, y nuevos módulos que pudiera parecer. Así como la dimensión del núcleo de un lineal mapa es semicontinua superior, pero no continuo. Si quieres ser de lujo, se podría decir que el homs hacer una gavilla en el parámetro de la variedad y de la que la dimensión es superior semicontinuo. Incluso se podría decir en un generalizado gavilla sentido de que todavía es una deformación de la categoría de módulos.

Answer 5

Ok, así que, finalmente, pasó algún tiempo mirando a través de algunos documentos de van den Bergh y Lowen en más detalle, que es probablemente lo que debería haber hecho hace un tiempo.

El primer papel relevante a mi preguntas es, probablemente, el papel que javier había publicado originalmente, en las deformaciones de abelian categorías: http://arxiv.org/abs/math/0405226

Entonces no es una secuela de papel http://arxiv.org/abs/math/0405227 que pretende explicar cómo Hochschild cohomology está relacionado con las deformaciones de abelian categorías! Esto parece ser exactamente lo que yo quería, o al menos lo suficientemente cerca... sin Embargo, este papel no parece tener ningún ejemplos concretos...

Hay otros papeles de van den Bergh y Lowen que probablemente son relevantes y que probablemente debería mirar más allá...