Cómo probar el q-series de identidad?

Question

¿Cómo podría yo demostrar que $$(-q;q^2)_\infty (q;q)_\infty = 1 + 2 \sum_{i=1}^\infty (-1)^i q^{2 i^2}?$$ If that is too difficult is there a way to show $$(-q;q^2)_\infty (q;q)_\infty \equiv 1 \pmod 2?$$

editar La identidad de $(-q;q^2)_\infty (q;q)_\infty = (q^2;q^2)_\infty (q^2;q^4)_\infty$ se encuentra fácilmente y permite la sustitución de $\rho = q^2$ a reducir el problema a $$(\rho;\rho)_\infty (\rho;\rho^2)_\infty = \sum_{i = -\infty}^{\infty} (-1)^{i} \rho^{i^2}.$$

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Definición: $$(a;q)_n = \prod_{k=0}^n \left(1 - aq^k\right)$$

Answer 1

¿Has probado a buscar como una especialización de la Jacobi triple producto?

$$(q;q)_{\infty}(-xq;q)_{\infty}(-1/x;q)_{\infty}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x^kq^{k(k+1)/2}$$

La especialización $q \to q^2$ $x \to -1/q$ da su versión simplificada.

(Tenga en cuenta que $(q^2;q^2)_{\infty}(q;q^2)_{\infty}= (1-q^2)(1-q^4)\dots(1-q)(1-q^3)\dots=(1-q)(1-q^2)\dots=(q;q)_{\infty}$. )

Una forma común de la prueba utiliza el pentagonal número teorema que tiene una bonita combinatoria prueba: http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_number_theorem, listas de wikipedia otra prueba http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_triple_product pero no he leído aún.