¿Contiene el fractal de Mandelbrot un número contable o incontable de copias de sí mismo?

Question

He estado trabajando en un programa que dibuja imágenes fractales, y me ha surgido una pregunta.

Está claro que el fractal de Mandelbrot contiene infinitas copias de sí mismo, pero me he preguntado si es un infinito contable o incontable.

Answer 1

Esto es similar a la pregunta de mathstack, mandelbrot-bulbs-countable . Resulta que todo bulbo/cardioide tiene un centro hiperbólico que es la solución de una ecuación algebraica; y los números algebraicos son contables. Los centros hiperbólicos son todos los ceros de la siguiente secuencia de ecuaciones: $f_1=x$ , $f_2=x^2+x$ , $$f_{n}=(f_{n-1})^2+x$$ $$f_{n}=0$$

Las raíces de cada uno de los $f_n$ ecuaciones son los centros hiperbólicos. El Cardioide principal de cada mini-mandelbrot también tiene un centro hiperbólico principal, que representa un subconjunto de estos números algebraicos contables.

Por ejemplo, consideremos las raíces de $f_4=0$ . Dos de estos ceros son $x=-0.156520166833755\pm1.03224710892283i$ que son el centro hiperbólico del mayor mini-mandelbrot de período 4, y su conjugado $f_4 = x^8 + 4x^7 + 6x^6 + 6x^5 + 5x^4 + 2x^3 + x^2 + x$ . Otro cero es -1,94079980652948 que es un mini-mandelbrot de período 4 más pequeño. Los otros ceros son bulbos de periodo=4 y de periodo=2, así como el Cardioide principal de periodo=1 en x=0.

Otro ejemplo es $f_3=x^4 + 2x^3 + x^2 + x$ . Uno de los ceros de $f_3=0$ es $-1.75487766624669$ que es el centro hiperbólico del Cardioide principal del mini-mandelbrot de mayor período 3.

Answer 2

Cada ejemplar tiene un cardioide central de área finita y positiva, disjunta de todos los cardioides centrales de los demás ejemplares. Las áreas deben sumar un número finito; por tanto, no puede haber un número incontable de ellas, ya que una suma de números positivos incontables no puede ser finita.

Answer 3

Como sugirió @Sheldon, he mirado la pregunta contable de "Mandelbulb", y la respuesta que se da allí es impresionante, algunas la añado aquí como "Community WIKI".

Me gusta que las respuestas anteriores aporten tanta información nueva, pero me encanta la sencillez de esta explicación.

No sé si tiene una definición precisa de "bombilla", pero es razonable esperar que cualquier bombilla debería contener una bola suficientemente pequeña. Cualquier bola contiene un punto con coordenadas racionales, porque estas últimas son densas. Asumiendo que los bulbos son disjuntos, esto nos permite nos permite definir una inyección desde los bulbos a los puntos racionales, que son son contables, por lo que no puede haber un número incontable de bulbos.