Simétrica y exterior de los poderes de un proyectiva (plana) módulo proyectivo (plana)

Question

Suponga que $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $P$ un proyectiva (plana) $R$-módulo. Por qué $\mathrm{Sym}^n(P)$ $\Lambda^n(P)$ son proyectivos (plana) para cada $n$?

Answer 1

Como Darij señaló en su comentario, si $R$ no es un ${\mathbb Q}$-álgebra uno no puede argumentar que $\bigwedge^n P$ ${\mathfrak S}^n P$ son sumandos de $P^{\otimes n}$, reduciendo así la declaración de mostrar que projectivity y el plano son estables en tomar tensor de poderes. En lugar de eso, uno podría argumentar de la siguiente manera:

1. Libertad: Si $F$ es un servicio gratuito de $R$-módulo con base $\{v_1,\ldots,v_n\}$, $\bigwedge^k F$ es gratuita a través de $\{v_{i_1}\wedge\cdots\wedge v_{i_k}\ |\ i_1<\ldots<i_k\}$ ${\mathfrak S}^n F$ es gratuita a través de $\{v_{i_1}\cdots v_{i_k}\ |\ i_1\leq \ldots\leq i_k\}$. Lo mismo vale para un posible infinitamente libres generados por el módulo de $F\cong R^{(I)}$ si $I$ está equipada con un orden lineal.

   Lado de la pregunta: ¿Qué pasa si no imponemos $\textsf{AC}$? Se $\bigwedge^n R^{(I)}$ ${\mathfrak S}^n R^{(I)}$ sigue libre?

2. Projectivity: Los módulos proyectivos son los sumandos/retrae de libre módulos. Desde $\bigwedge^n(-)$ ${\mathfrak S}^n(-)$ preservar retrae (como lo hace cualquier functor) y libertad, por lo tanto, también preservar projectivity.

3. La llanura: El plano de los módulos son directamente los límites de rango finito libre de los módulos. Desde e $\bigwedge^n(-)$ ${\mathfrak S}^n(-)$ preservar directa límites y finito de rango libre de los módulos, por lo tanto, también de preservar la planitud.

Answer 2

Este es un enfoque con el hecho de que proyectiva módulos son sumandos directos de libre módulos. Supongamos $P\oplus Q\cong R^k$. Entonces $$R^{k^n}=(P\oplus Q)^{\otimes n}=P^{\otimes n}\oplus\cdots ,$$ so $P^{\otimes n}$ is projective. But then notice that $\Lambda^n(P)$ and $\mathrm{Símbolo}^n(P)$ are both direct summands of $P^{\otimes n}$.

Edit: Como Darij Grinburg puntos, y sólo ahora notado, esto sólo funciona para algunos anillos de $R$, $\mathbb Q$ álgebras.