EDICIÓN Nos muestran que la respuesta a la OP pregunta es sí. Gracias a la Voluntad de Sawin por sus comentarios.
Yo uso la notación de [Hartshorne, la Geometría Algebraica, Capítulo V, Sección 2].
Desde $S$ es una superficie reglada, existe una sección de $C_0$ de un mínimo de auto-intersección; set $C_0^2 = -e$. Si escribimos $S=\mathbb{P}(\mathcal{E})$, $\mathcal{E}$ normalizado, a continuación,$e= - \deg \mathcal{E}$.
Por otra parte, desde la base de la sentencia es una curva elíptica $E$,$e \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}$.
Podemos excluir el caso $e >0$. De hecho, cualquier divisor $D \in \textrm{Pic}(S)$ puede ser escrito como $a C_0 + b f$ donde $f$ es la fibra de la sentencia. Ahora la elíptica de la fibra de los morfismos $\mathbb{P}^1$ debe satisfacer $(aC_0+bf)^2=0$$b = \frac{1}{2}ae$. Pero si $e >0$, a continuación, un eficaz divisor debe también satisfacer $b \geq ae$ (Hartshorne, la Proposición 2.20 p. 382) y esto es una contradicción.
Entonces la única posibilidad es $e \in \{-1, 0 \}$.
El caso de $e=-1$ corresponde a la segunda simétrica producto $\textrm{Sym}^2(E)$; en este caso, $\mathcal{E}$ es el único indecomposable rango de dos vectores paquete en la $E$$\deg \mathcal{E} =1$. Entonces el sistema lineal $|4C_0-2f|$ es un lápiz de curvas elípticas. También se puede escribir $S$ en la deseada (ver Wil Sawin el primer comentario).
El caso de $\mathcal{E}=0$ corresponde a la trivial paquete (por lo $S$ es un producto), o a$\mathcal{O}_E \oplus \mathcal{L}$, $\deg \mathcal{L}=0$ o a $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ donde $\mathcal{E}$ es el único indecomposible rango de dos vectores paquete en la $E$ tal que $\deg \mathcal{E}=0$.
Consideremos primero el caso de $\mathcal{O}_E \oplus \mathcal{L}$,$\deg \mathcal{L}=0$. A continuación, las curvas de la elíptica lápiz debe corresponder a elementos de $h^0(aC_0)$, que es a las secciones de $\textrm{Sym}^a (\mathcal{O}_E \oplus \mathcal{L})$. Ya que debemos tener dos secciones independientes, obtenemos que $\mathcal{L}$ es un paquete de torsión. En este caso la elíptica fibration existen, y uno puede escribir $S$ en la forma deseada (consulte ¿Sawin segundo comentario).
Por último, vamos a excluir el caso $\mathbb{P}(\mathcal{E})$, $\mathcal{E}$ indecomposable de grado $0$. De nuevo, las curvas de la elíptica lápiz debe corresponder a los elementos de $h^0(aC_0)$, que es a las secciones de $\textrm{Sym}^a \mathcal{E}$. Pero a partir de [Atiyah, Vector de paquetes en una curva elíptica, Teorema 9] uno ve que $\textrm{Sym}^a \mathcal{E}$ es de nuevo indecomposable de grado $0$,$h^0(\textrm{Sym}^a \mathcal{E})=1$. Por lo tanto, uno no tiene dos secciones independientes, y la elíptica lápiz no puede existir.
Resumiendo, obtenemos
Deje $p \colon S \to \mathbb{P}^1$ ser una elíptica de la superficie y se supone que $S$ se resolvió a través de una curva elíptica $E$. A continuación,$S=\mathbb{P}(\mathcal{E})$, en donde el
$\bullet$ $\mathcal{E}$ es el único indecomposable rango $2$ vector paquete de grado $1$$E$, o
$\bullet$ $\mathcal{E}= \mathcal{O}_E \oplus \mathcal{L}$, donde $\mathcal{L}$ es un (posiblemente trivial) de torsión de la línea de paquete.
En ambos casos, también podemos escribir $S$ en la forma deseada,$S=(E \times \mathbb{P}^1)/G$.
