Pueden todas las funciones de más de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ se "describe" por un polinomio?

Question

Consideremos el conjunto a $T$ de las funciones de$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Ahora estoy pidió a probar o refutar la afirmación de que todas las funciones en $T$ puede ser descrito por un polinomio sobre $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, es decir, para cualquier $f \in T$, existe un polinomio $P \in (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[X]$, de modo que la función polinómica de $P$ lleva exactamente los valores que $f$ toma.

Ya sé que esta afirmación es verdadera si en lugar de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, tenemos un campo finito como la estructura subyacente, pero desde $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, no es un campo, sospecho más bien que esta afirmación no es verdadera, es decir, que no es cualquier función que se interponga en nuestro camino. Tengo la sospecha de que he encontrado una función de este tipo, sería necesario demostrar que no polinomio sobre $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ toma los mismos valores en $f$.

Supongo que no es un simple contraejemplo, pero hasta ahora, no he sido capaz de encontrar uno. Obviamente que no podemos utilizar cualquier función constante, pero estoy tan lejos de la idea de lo que puede hacer para construir un contraejemplo.

Answer 1

Cualquier función polinomial se tienen la propiedad de que $x \equiv y \pmod 2 \implies f(x) \equiv f(y) \pmod 2$.
Por otro lado es fácil dar un ejemplo de una función que no lo tiene.

Answer 2

Otra forma de verlo es por contar. Tenemos que $n^4 = n^2$ cualquier $n$, por lo que cualquier polinomio de la función puede ser representada por un polinomio de grado $3$ o menos. Hay $4^4$ polinomios de grado tres o menos, y no se $4^4$ funciones $T$. Sin embargo, hay cierta superposición entre los polinomios, ya que por ejemplo, las expresiones polinómicas $$ 2n + 2n^2\\ 2n + 2n^3\\ 0 $$ representan la misma función. Por lo tanto, debe haber algunas funciones que no pueden ser polinomios.

Answer 3

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con $1$. Si cada una de las funciones de $R$ $R$es un polinomio, entonces todos los no-cero $r\in R$ es invertible.

A saber, una función de $f$$f(0)= 0$$f(r)=1$. Supongamos que es el polinomio. Entonces el polinomio no tiene coeficientes constantes, debido a que $f(0)=0$. Sin embargo, a continuación, $f(r)= rg(r)$ algunos $g(r) \in R$, y también se $f(r)=1$, lo $r$ es invertible.

De hecho, esto lleva a que cada función de $R$ $R$es un polinomio si y sólo de $R$ es un campo finito.

Answer 4

Considere la posibilidad de un polinomio $p(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$$a_k \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Entonces tenemos

$$ p(0) = a_0, \\ p(2) = a_0 + a_1 \cdot 2 + a_2 2^2 + \dots + a_n 2^n = a_0 + 2a_1. $$

Por lo tanto, no podemos encontrar un polinomio que satisface por ejemplo, $p(0) = 1, p(2) = 2$ como la ecuación de $2a_1 = 1$ no tiene solución en $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

Answer 5

Sugerencia $\, $ Si es así existe un polinomio con $f(\color{#0a0}2)=0,\,f(0)=\color{#c00}1.\,$ por lo Tanto, por el Teorema de Factor, la raíz de $\,\color{#0a0}2\,$ divide el término constante $\color{#c00}1,\,$ es decir $\,2a = 1,\,$ $\,2\,$ es invertible, contra $\,2\cdot 2 = 0$.

Comentario $\ $ , con Lo que, si es así, cada elemento distinto de cero es invertible, es decir, el anillo es un campo.

Muchas agradable pruebas surgir por la explotación de las relaciones entre el factorizations de polinomios y factorización de los valores que toman. Por ejemplo, se puede diseñar un algoritmo simple para el polinomio factorización utilizando la factorización de sus valores enteros y de interpolación de Lagrange. Las ideas detrás de este algoritmo son debidos en parte a los Bernoulli, de Schubert, de Kronecker.