¿Se caracteriza un grupo abeliano por sus localizaciones?

Question

Sean $G$ y $H$ grupos abelianos contables. Supongamos que para todo número primo $p$ existe un isomorfismo $G\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[\frac{1}{p}]\cong H\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[\frac{1}{p}]$. ¿Se sigue que $G$ y $H$ son isomorfos como grupos abelianos?

(Nótese que esto es cierto para grupos finitamente generados. Además, también es válido si todos los isomorfismos $G\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[\frac{1}{p}]\cong H\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[\frac{1}{p}]$ son inducidos por un único homomorfismo de grupos fijo $G\to H$. En ambos casos es suficiente considerar dos números primos diferentes.)

Answer 1

La respuesta a la pregunta es sí, y solo necesita dos números primos diferentes $p,q$. Además, la demostración es válida para grupos abelianos arbitrarios $G$ y $H$ (tampoco es necesaria la compatibilidad de los isomorfismos). Utiliza el enfoque de Hurkyl y va así.

Para cualquier grupo abeliano $A$ y $n\in \mathbb N$, usaremos la notación $A_n:=A\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[1/n]$. Supongamos que existen isomorfismos de grupos $\varphi_p:G_p\to H_p$ y $\varphi_q:G_q\to H_q$. Consideremos la secuencia corta exacta \begin{array}{ccccccccc} 0&\to &\mathbb Z&\xrightarrow{\iota_p\oplus -\iota_q} & \mathbb Z[1/p]\oplus \mathbb Z[1/q] &\xrightarrow{\kappa_p+\kappa_q} & \mathbb Z[1/(pq)] &\to &0,\\ \end{array> donde todos los mapas $\iota_p,\iota_q,\kappa_p$ y $\kappa_q$ son las inclusiones canónicas. Dado que $\operatorname{Tor}(G,\mathbb Z[1/(pq)])\cong \operatorname{Tor}(H,\mathbb Z[1/(pq)])\cong0$ al hacer el tensor con $G$ y $H$ se obtiene el siguiente diagrama con filas exactas \begin{array}{ccccccccc> 0&\to &G&\xrightarrow{} &G_p\oplus G_q &\xrightarrow{} &G_{pq}&\to &0\\ & & \downarrow{\psi}& & \downarrow{\varphi_p\oplus\varphi_q}& & \downarrow{\tilde{\varphi}_p+\tilde{\varphi}_q} \\ 0&\to &H&\xrightarrow{}&H_p\oplus H_q &\xrightarrow{}&H_{pq}&\to &0 donde $\tilde{\varphi}_p$ y $\tilde{\varphi}_q$ son las extensiones canónicas de $\varphi_p$ y $\varphi_q>, respectivamente. Ahora mostramos que $\psi$ es un automorfismo. Definimos $G(p^{\infty}):=G\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z(p^{\infty})$, donde $\mathbb Z(p^{\infty})$ denota el grupo de Prüfer $p$ y definimos $H(p^{\infty})$ de manera análoga. Además, denotamos por $G(p)$ y $H(p)$ a los subgrupos de torsión de $p$ de $G$ y $H$, respectivamente. Obtenemos un diagrama conmutativo con filas exactas \begin{array}{ccccccccc> 0&\to &G/G(p)&\xrightarrow{} &G_ai>\oplus> G_q &\xrightarrow{} &G(p^{\infty})&\to &0\\ & & \downarrow{\overline{\psi}}& & \downarrow{\varphi_p}& & \downarrow{\overline{\varphi}>_p} \\ 0&\to &H/H(p)&\xrightarrow{} &H_p&\xrightarrow{} &H(p^{\infty})&\to &0 donde $\overline{\psi}$ y $\overline{\varphi}_p$ son los morfismos inducidos. Dado que $\varphi_p$ es un isomorfismo, el lema de la Serpiente produce un isomorfismo $\operatorname{coker}(\overline{\psi})\cong \operatorname{ker}(\overline{\varphi}_p)>. También se deduce que $\overline{\psi}$ es inyectiva. Sin embargo, $\operatorname{ker}(\overline{\varphi>_p}) es un $p$-grupo y, por lo tanto, $\overline{\psi}$ es un isomorfismo. Repitiendo el mismo argumento para $q$ también mostramos que $\psi:G\to H$ se restringe a un isomorfismo $G(p)\to H(p)>. Finalmente, el diagrama \begin{array}{ccccccccc> 0&\to &G(p)&\xrightarrow{} &G&\xrightarrow{} &G/G(p)&\to &0\\ & & \downarrow{\psi}& & \downarrow{\psi}& & \downarrow{\overline{\psi}>} \\ 0&\to &H(p)&\xrightarrow{} >H&\xrightarrow{} &H/H(p)&\to &0 junto con una aplicación del Lema de los Cinco produce que $\psi:G\to H$ es un isomorfismo de grupos abelianos.