Límite de $a_{k+1}=\dfrac{a_k+b_k}{2}$, $b_{k+1}=\sqrt{a_kb_k}$?

Question

Deje $a,b>0$ y vamos a $a_0=a$, $b_0=b $,

$a_{k+1}=\dfrac{a_k+b_k} 2$,$b_{k+1}=\sqrt{a_kb_k}$ $\quad k\geq0$.

Esto converge a un número entre a y b. También se $a_k>b_k$ $k\geq1$ (AM-GM de la desigualdad). Podemos encontrar el límite explícitamente en términos de$a$$b$?

Answer 1

El límite de $L$ es conocida como la aritmética-media geométrica, ver MathWorld entrada, y puede ser expresada en términos de las integrales elípticas: $$ L = \frac{(a+b)\pi}{4K((a-b)/(a+b))}$$ donde $K$ es una completa integral elíptica. Esto se remonta a Legendre y Gauss.