Valor máximo de $n$ para lo cual $3^n\mid(80!)!$

Question

Calcular el valor máximo de $n$ para lo cual $(80!)!$ es divisible por $3^n$ .

Mi intento:

El exponente del factor primo $p$ en $(n!)$ se da como

$$ v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{n}{p^4}\right\rfloor+\cdots $$

Así que el exponente del factor primo $3$ en $(80!)$ se da como

$$ v_3(80!) = \left\lfloor \frac{80}{3}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{80}{3^2}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{80}{3^3}\right\rfloor+\left\lfloor \frac{80}{3^4}\right\rfloor+\cdots=36 $$

Pero no entiendo cómo calcular el exponente de $3$ en $(80!)!$ .

Answer 1

La respuesta exacta será $ v_3 ( (80!)!) = \lfloor \frac{80!}{3} \rfloor + \lfloor \frac{80!}{3^2} \rfloor + \ldots $ .

Si ignoramos la función suelo, y tomamos la suma de la progresión geométrica hasta el infinito, la respuesta sería simplemente

$$v_3 ((80!)!) \approx \frac{ 80!}{3} + \frac{80!}{3^2} + \ldots = 80! \times \frac{ \frac{1}{3} } { \frac{2}{3} } = \frac{80!}{2}.$$

Como ya ha calculado que $ v_3 ( 80!) = 36 $ sabemos que los primeros 36 términos de la suma son enteros, y el resto de los términos contribuirán por tanto a un error muy pequeño. De hecho, podemos buscar el valor exacto de este error, mirando la representación de base 3 de $80!$ .

Reclamación: $v_3 (n!) = \frac{n}{2} - R$ donde $R$ es la mitad de la suma de dígitos de $n$ en base 3.

La prueba: Esto se deduce inmediatamente al observar la sobreestimación en cada dígito, que es $(0.1111111\ldots)_3 = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, la sobreestimación total es la mitad de la suma de dígitos en base 3. $_\square$

Como ejemplo explícito, si observamos $v_3 (80!) = (222)_3 + (22)_3 + (2)_3 $ hemos sobre aproximado por $2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = 4$ . Una rápida comprobación muestra que $ \frac{80}{2} - 4 = 36$ lo que concuerda con su cálculo.

Queda por demostrar que $80!$ en base 3 tiene una suma de dígitos de 220 (no conozco una forma inmediata de hacerlo), lo que te daría el resultado de Daniel que $v_3 (80!) = \frac{80!}{2} - 110$ .

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Por supuesto, esto se generaliza fácilmente a otros valores (primos).